где {\displaystyle \land } — конъюнкция.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значений функции, когда по модулю её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне[править | править код]

Пусть числовая функция {\displaystyle f(x)} задана на множестве {\displaystyle X}, в котором может находиться сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного {\displaystyle \delta } найдётся элемент множества {\displaystyle X, } лежащий за границами отрезка {\displaystyle \left[-\delta, +\delta \right]}. В этом случае число {\displaystyle A} называется пределом функции {\displaystyle f(x)} на бесконечности, если для всякой последовательности точек {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }, } которая начиная с некоторого номера n будет по модулю неограниченно расти, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу {\displaystyle A. }

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}. }

Пусть числовая функция {\displaystyle f(x)} задана на множестве {\displaystyle X}, в котором для любого числа {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число {\displaystyle A} называется пределом функции {\displaystyle f(x)} на плюс бесконечности, если для всякой последовательности точек {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }, } которая начиная с некоторого номера n будет неограниченно расти в положительную сторону, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу {\displaystyle A}.

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon (\exists k\in \mathbb {N} \colon ~\forall l\in \mathbb {N} \colon ~l> k\Rightarrow x_{l}> 0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}, }

где {\displaystyle \land } — конъюнкция.

Пусть числовая функция {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве {\displaystyle X}, в котором для любого числа {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число {\displaystyle A} называется пределом функции {\displaystyle f\left(x\right)} на минус бесконечности только при условии, что для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу {\displaystyle A}.

{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon (\exists k\in \mathbb {N} \colon ~\forall l\in \mathbb {N} \colon ~l> k\Rightarrow x_{l}< 0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}. }

https: //ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8B_%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8