Домашнее задание 13. Синтез двухполюсников

Национальный исследовательский университет " МЭИ"

Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова

Кафедра светотехники

Домашнее задание 13

Синтез двухполюсников

по дисциплине " Основы теории эл. цепей"

Группа: ЭР-06-19

Вариант №23

Студент: Цыганкова Т. И.

Москва, 2021

Провести синтез линейного реактивного двухполюсника по Кауэру по заданной функции сопротивления Z(p):

Синтезировать две схемы двухполюсника путем представления функции Z(p) в виде цепной дроби путем деления полиномов, начиная, в одном случае, со старших, а в другом – с младших степеней полинома делимого.

Начнем решение с проверки условия физической реализуемости линейного двухполюсника по заданной функции операторного сопротивления:

Нули функции Z(p)

Полюсы функции Z(p)

По найденным значениям можно построить карту нулей и полюсов:

Рисунок 1. Карта нулей и полюсов заданной функции

Условия физической реализуемости выполняются:
1) Z(p) – дробно-рациональная функция
2) Нули и полюсы вещественные либо комплексно-сопряженные
3) 𝑅 𝑒 {𝑧 𝑘 } ≤ 0, 𝑅 𝑒 {𝑝 𝑘 } ≤ 0,
где 𝑧 𝑘 − нули функции,
𝑝 𝑘 − полюсы функции
4) |𝑚 − 𝑛 | ≤ 1,
где 𝑚 − количество нулей функции (𝑚 = 4),
𝑛 − количество полюсов функции (𝑛 = 3).

Также можно сделать вывод, что линейный пассивный двухполюсник состоит только из реактивных элементов, т. к. нули и полюсы лежат на мнимой оси и чередуются.

Синтезируем электрическую цепь методом Кауэра:
Разложим заданную функцию операторного сопротивления в цепную дробь, начиная деление со старших степеней:

Проверим результат с помощью математического пакета, используя операцию упрощения выражений:
Исходная функция:

Функция, разложенная в цепную дробь:

Функции совпадают, что говорит о правильности выполненного разложения.

Определим параметры компонентов, входящих в состав линейного пассивного двухполюсника в соответствии с разложением:
𝐿 1 = 4. 31 мкГн
𝐶 1 = 86. 96 пФ
𝐿 2 = 359. 3 мкГн
𝐶 2 = 3. 712 нФ

Схема синтезированного по методу Кауэра линейного пассивного двухполюсника:

Рисунок 2. Схема синтезированного двухполюсника (разложение, начиная со старших степеней)

Разложим заданную функцию операторного сопротивления в цепную дробь, начиная деление c младших степеней:

Функция, разложенная в цепную дробь:

Функции совпадают, что говорит о правильности выполненного разложения.

Определим параметры компонентов, входящих в состав линейного пассивного двухполюсника в соответствии с разложением:
𝐶 1 = 3. 8 нФ
𝐿 1 = 347. 1 мкГн
𝐶 2 = 86. 88 пФ
𝐿 2 = 4. 363 мкГн

Схема синтезированного по методу Кауэра линейного пассивного двухполюсника:

Рисунок 3. Схема синтезированного двухполюсника (разложение, начиная с младших степеней)