Контрольная работа по дисциплине «Математика» на первом курсе.

1. Найти область определения:

2. Написать схему и построить график: у = 2(х – 3)² – 4

3. Решить неравенство:

а)

б)

4. Упростить (два задания на выбор):

а)

б) tg² х - sin² х - tg² х sin² х

в)1 -

г)

5. Решить уравнение:

4 cоs²х - 8 cоsх + 3 = 0

6. Исследовать на возрастание, убывание, точки экстремума (одно задание на выбор):

у = 2х³-9х²+12х-12

у =-2х³+15х² -36х-12

7. Исследовать на чётность, нечётность:

f(х) =

Критерии оценивания:

оценка «5» - 6 правильно выполненных заданий;

оценка «4» - 5 правильно выполненных заданий;

оценка «3» - 4 правильно выполненных задания.

Определение логарифмического неравенства

В процессе решения заданий в виде логарифмических неравенств пригодится знание теории: свойства монотонности и ключевых формул.

Определение 1

Логарифмом положительного числа b по основанию a называют показатель степени, в которую необходимо возвести a, чтобы получить b:

Здесь b > 0, a > 0, a отлично от единицы.

Главным логарифмическим тождеством является:

В процессе решения задач будут полезны такие формулы для логарифмов:

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

2. Логарифм частного равен разности логарифмов: .

3. Формула для вычисления логарифма степени: .

Переход к другому основанию реализован по формуле:

Определение 2

Простейшее логарифмическое неравенство — это соотношение, которое записано в виде:

при некоторых выражениях, которые зависят от x. Например,

Заметим, что знак «> » — больше — допускается заменять другими знаками: .

1. при

2. при

Виды логарифмических неравенств

Логарифмические неравенства могут быть записаны в следующем виде:

1. Простейшие, как.

2. Неравенства, которые могут быть сведены к простейшим: как.

3. Неравенства, в которых использованы логарифмические свойства: как.

4. Неравенства, решаемые с помощью замены: такие, как.

5. Выражения с основанием, где присутствует переменная: например, .

Нахождение области допустимых значений логарифмического неравенства

Корректность решения логарифмических неравенств зависит от правильности определения области допустимых значений. Разберем наглядный пример:

Заметим, что в стандартной формуле логарифма роль b играет в данном случае выражение. Тогда по определению:

Если обратиться к определению логарифмического неравенства, то можно убедиться в том, что записанное выражение должно быть больше нуля. В результате.

После определения ОДЗ можно приступить к решению неравенства:

В первую очередь следует избавиться от в обеих частях выражения. Тогда:

Таким образом:

Далее требуется доказать, что решение, которое получилось, соответствует определенной ранее области допустимых значений:

Изобразим числовую прямую, на которой определим полученные точки:

В итоге окончательное решение неравенства является участком с двумя проходящими дугами: