Чтение графика функции

Напомним определение числовой функции.

Числовая функция y = f(x), определённая на множестве A ⊂ R — это правило, сопоставляющее каждому значению x ∈ A одно-единственное число y.

Множество A называется областью определения функции и обозначается D(y) или D(f). Когда переменная x пробегает область определения, переменная y также пробегает некоторое множество, которое называется множеством значений или областью значений функции. Область значений обозначается E(y) или E(f).

Что мы видим на графике функции и как это называется в математике?

Рассмотрим график функции y = f(x).

Область определения функции — это диапазон всех возможных «иксов». Мы видим, что в данном случае D(y) = [− 5; 6].

Область значений функции— это диапазон соответствующих «игреков»: E(y) = [− 3; 7].

Нули функции — это значения аргумента x, при которых функция обращается в нуль. Другими словами, это абсциссы точек, в которых график пересекает ось X. В нашем случае нулями функции являются x = − 4 и x = 1.

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве M. В качестве множества M может выступать что угодно: отрезок [a, b]; конечный или бесконечный промежуток, открытый с одного или с обоих концов; объединение промежутков и т. д.

Функция называется возрастающей на множестве M, если для любых x1, x2 ∈ M, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).

Попросту говоря, большему значению аргумента отвечает большее значение функции. График возрастающей функции идёт вправо вверх.

Функция называется убывающей на множестве M, если для любых x1, x2 ∈ M, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).

Иными словами, большему значению аргумента отвечает меньшее значение функции. График убывающей функции идёт вправо вниз.

Функция, которую мы рассматриваем, возрастает на отрезке [− 2; 4]. Функция убывает на каждом из отрезков [− 5; − 2] и [4; 6].

Хороший вопрос: верно ли, что наша функция убывает на множестве [− 5; − 2]∪ [4; 6]? Ответ: неверно. Почему?

Точка x = 4 на нашем рисунке является точкой максимума. Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках. Можно сказать, что точка максимума соответствует локальному пику графика функции. Обратите внимание, что граничная точка x = − 5 не является точкой максимума. Она не лежит внутри области определения, у неё нет соседей слева. Точка x = − 2 является точкой минимума. Точка минимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках. Точка минимума отвечает локальной «ямке» на графике функции.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае x = − 2 и x = 4 — точки экстремума.

При этом экстремумы функции — это значения функции в точках экстремума. Мы видим, что f(− 2) = − 3 и f(4) = 3. Стало быть, экстремумы функции — это числа − 3 и 3. Значение − 3 является минимумом функции, значение 3 — её максимумом.

Иногда в задачах требуется отыскать наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами! Например, наименьшее значение нашей функции на отрезке [− 5; 6] равно − 3 и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее значение функции на этом отрезке равно 7; оно достигается на левом конце отрезка и не совпадает с максимумом функции.

Но в любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Понятие непрерывной функции, кстати, является одним из важнейших в математике. Строгое определение непрерывности мы узнали при изучении математического анализа. Но смысл прост: график непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.