Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Подставим в уравнение корень

2 ∙ 11 – 5 = 17,

17 = 17.

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Решим уравнение:

2х + 7 = – 3х – 8.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

2х + 3х + 7 = – 8.

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

2х + 3х = – 8 – 7.

Применим распределительный закон для правой части:

(2 + 3)х = – 8 – 7.

Упростим левую и правую части уравнения:

5х = – 15.

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

x = – 15: 5.

Корень уравнения:

х = – 3.

Ответ: х = – 3.

Проверка:

2х + 7 = – 3х – 8,

х = – 3,

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

– 6 + 7 = 9 – 8,

1 = 1.

Значит, корень уравнения найден верно.

Решим уравнение:

1/2 x+3=-8.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Найдите корни уравнения.

2х – х – 5= – 18

Решение.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

2х – х= – 18 + 5.

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

x= – 13.

Это и есть корень уравнения.

Ответ: х= – 13.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

x+6= 17 – 2х

Решение.

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Получаем

7+6=17 – 2 • 7

13= 17 – 14

13 ≠ 3

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.