Найти промежутки монотонности (возрастание и убывание) и экстремумы функции: ОБРАЗЕЦ!!!

f(x) = x3–3x2.

Решение:

1. Найдем производную функции: f ′ (x)=( x3–3x2. )´ = 3x2–6x.

2. Найдем стационарные точки по первой производной, решив уравнение:

3x2–6x=0;

3x(x-2)=0;

x = 0, x = 2 стационарные: 0 и 2.

3. Изобразим числовую прямую. На числовой прямой отметим найденные стационарные точки. Исследуем поведение производной в критических точках и на промежутках между ними

(в данном примере 3 промежутка: (-∞, 0); (0, 2); (2, +∞ ) ).

0 2 х

Построим таблицу:

x	(-∞, 0)		(0, 2)		(2, +∞ )
f′ (x)	+		-		+
f(x)	возрастает		убывает	- 4	возрастает
Точки экстремума		(0, 0) max		(2; -4) min

1. Для этого на каждом промежутке выберем произвольное значение аргумента и определим знак значения производной. f ′ (x)= 3x2–6x.

(-∞, 0) f ′ (-1)= 3·(-1)2 - 6· (-1) = 3 + 6= 9 > 0 (ставим знак (+ ))

(0, 2) f ′ (1)= 3·12 - 6· 1 = 3 - 6= - 3 < 0 (ставим знак ( - ))

(2, +∞ ) f ′ (3)= 3· 32 - 6· 3 =27 - 18= 9 > 0 (ставим знак ( + ))

На основе признака возрастания (убывания) функции имеем:

Функция возрастает на промежутках (-∞, 0) и (2, +∞ ), а убывает на промежутке (0, 2).

Проходя через точку 0, производная меняет свой знак с «+» на «-»,

значит х= 0 является точкой максимума.

Проходя через точку 2, производная меняет свой знак с «-» на «+»,

значит х= 2 является точкой минимума.

2. Найдем точки экстремума: подставим критические точки (0 и 2)в функцию

f(0) = 03 – 3*02 = 0 х max = 2; у max = - 4 f(2) = 23 – 3*22 = -4 х min = 2; у min = - 4

3. Ответ:

а) Функция возрастает при x∈ (-∞ ; 0)∪ (2; +∞ );

функция убывает при x∈ (0; 2); б) точка минимума функции (2; -4); (можно и так записать ответ: х min = 2; у min = - 4 )

точка максимума функции (0; 0) (можно и так записать ответ: х max = 2; у max = - 4).

ТЕОРИЯ. Первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:

– если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

– если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.