Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям.

Метод непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало.

Метод подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢ (t)dt получается:

Пример № 1

Найдите неопределенный интеграл:

Сделаем замену:

Пример № 2

Найдите неопределенный интеграл:

Сделаем замену:

выделяем делением целую часть дроби:

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема (u), а другая интегрируема (dv).

Пример № 3

Найдите неопределенный интеграл:

Задания:

Пример 1.
Пример 2..
Пример 3..
Пример 4..