Геометрический смысл производной.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Группа: 1 ТМ 21. 01. 22

Тема урока: «Геометрический смысл производной».

Новый материал.

План:

1. Изучить материал и сделать конспект.

2. Разобрать примеры решения.

3. Выполнить задания.

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Касательная – это прямая, уравнение прямой имеет вид:

y = kx + b,

где k – угловой коэффициент прямой (в нашем случае, касательной).

k = f′ (x₀).

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции f − это прямая, проходящая через точку (х₀; f(х₀)) и имеющая угловой коэффициентk = f′ (x₀).

Пример: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) =9 + 7x + 4x² в его точке с абсциссой х = − 3.

Решение:

f′ (х₀) =( 9 + 7x + 4x²)′ = 7 + 8х

k = f′ (− 3) = 7 + 8·(− 3) = 7 + (− 24) = − 17.

Ответ: k = − 17.

Уравнение касательной к графику функции:

y = f(x₀) + f′ (x₀)(x – x₀).

Пример: Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2х³ – 3х + 2 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение:

1. Вычислим значение функции в этой точке: f(2) = 2· 2³ − 3·2 + 2 = 16 – 6 + 2 =12.

2. Найдем производную функции: f′ (x) = (2х³ – 3х + 2)′ = 6х² – 3.

3. Вычислим значение производной в данной точке: f′ (2) = 6·2² − 3 = 24 − 3 = 21.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

y = 12 + 21(x – 2) = 12 + 21х – 42 = 21х – 30.

Ответ: y = 21х – 30.

Механический (физический) смысл производной.

Пусть задан путь s=f(x) (x(t) = f(x)) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t (с) есть производная от пути s (м) по времени t:

v(t)=s′ (t) или v(t) = x′ (t) (м/с).

Производная от скорости по времени есть ускорение:

a = v′ (t) (м/с²).

Пример: Точка движется прямолинейно по закону

S = 2t⁴+2t² − 7 (S – в метрах, t – в секундах).

Найдите скорость точки в момент времени t = 3с.

Решение: v(t) = S′ (t) = (2t⁴+2t² − 7)′ = 8t³+4t

v(3) = 8·3³+4·3 = 8·27 + 12 = 216 + 12 = 228 (м/с).

Ответ: 228 (м/с)

Пример: Тело движется прямолинейно по закону s(t)= t³− 2t²+4t (м).

Определить скорость и ускорение его движения в момент t=10 с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть:

v(t) = S′ (t) = ( t³− 2t²+ 4t )′ = ( t³)′ − (2t²)′ + (4t )′ = 2t²− 4t + 4

В заданный момент времени:

v(10)=2⋅ 10²− 4⋅ 10+4=200 – 40+4=164(м/с).

Искомое ускорение - это производная от скорости, то есть:

a = v′ (t) = (2t²− 4t + 4)′ = 4t – 4.

В заданный момент времени:

а(10) = 4ꞏ 10 – 4 = 40 – 4 = 36 (м/с²).

Ответ: v(10) = 164 (м/с),

а(10) = 36 (м/с²).

Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23, гдеx(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени, следовательно нам известно значение производной в точке t₀.

Найдем производную функцииx(t) = t² – 13t + 23:

x׳ (t) = 2t – 13.

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени t₀ равно 3.

Получаем уравнение:

x׳ (t₀) = 2t₀ – 13 = 3

2t₀ = 3 + 13

2t₀ = 16

t₀ = 8

Отсюда t₀ = 8 с.

Ответ: 8

2. Выполните задания:

1) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 7 – 5x + 3x² в его точке с абсциссой х = 3.

2) Напишите уравнение касательной к графику функции у = х⁴ – х в точке с абсциссой х₀ = − 1.

3) Закон движения точки по прямой задаётся формулой s(t)=3t², где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения.

Найди скорость и ускорение в момент времени t, если: t=1, 2 с.

4) Материальная точка движется по закону: x(t) = − t⁵ + t⁴–t³ + 5t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость и ускорение точки (в м/с) в момент времени t = 2c.

5) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³– 3 t²– 5t + 3, где x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

12 Следующая ⇒