Самостоятельная работа «Аксиомы стереометрии. Прямые и плоскости в пространстве»

1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямые l и а пересекаются, а прямые l и b параллельны. Определите, могут ли прямые а и b:

а) лежать в одной из плоскостей;
б) лежать в разных плоскостях α и β;
в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b.

2. Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN: NC= 2: 3, AM: АВ = 3: 5.

а) Докажите, что MN II α.

б) Найдите MN, если АС = 30 см.

3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если АВ = CD = 6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС = 3 см.

4. Отрезки АВ и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями. Найдите АВ, если CD = 3 см.

5. Верно, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

6. Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А₁ и A₂, В₁ и В₂. Известно, что МА₁ = 4 см, В₁В₂ = 9 см, A₁A₂ = МВ₁. Найдите МА₂ и MB₂.

7. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК= 8 см.

8. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость α.