Самостоятельная работа «Аксиомы стереометрии. Прямые и плоскости в пространстве»

1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая а параллельна прямой l и является скрещивающейся с прямой b. Определите, могут ли прямые а и b:

а) лежать в одной из данных плоскостей;
б) лежать в разных плоскостях α и β;
в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b.

2. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, причем AM: МВ = 3: 4, CN: ВС = 3: 7.

а) Докажите, что АС II α.

б) Найдите АС, если MN = 16см.

3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и ВД, если АС = 6 см, BD = 8 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 5 см.

4. Даны параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А₁ и В₁. Найдите А₁В₁, если АВ = 5 см.

5. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

6. Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей α и β, проведены три луча, пересекающие плоскости α и β соответственно в точках А, В, С и А₁, В₁, С₁ (ОА < ОА₁). Найдите периметр А₁В₁С₁, если ОА = m, АА₁ = n, АВ = b, ВС = а.

7. Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см.

8. Длины сторон треугольника АВС соответственно равны: ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 см. Через сторону АС проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины В до плоскости α.