|
|||
Конспект. Алгебра. 8 класс. Урок 30. Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема ВиетаКонспект Алгебра. 8 класс Урок 30. Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета
Квадратное уравнение x2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x1 = 2; x2 = 4. x1 • x2 = 8 – равно свободному члену; x1 + x2 = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0. D = p2 – 4q. Пусть D > 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня: и . Найдём сумму и произведение корней:
Таким образом, если x1 и x2 – корни приведённого квадратного уравнения x1 + x2 = –p; x1 • x2 = q.
Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна. Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета. Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.
Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x2 + 9x + 7 = 0. D = b2 – 4ac = 92 – 4 • 2 • 7 = 25 > 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение . По теореме Виета На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета: тогда y и z – корни уравнения x2 + px + q = 0.
Запишем уравнение x2 + px + q = 0 в виде x2 – (y + z)x + y • z = 0. Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х: y2 – (y + z)y + y • z = 0. Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.
Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.
С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения. Уравнение x2 – 5x + 6 = 0 имеет два корня x1 = 2; x2 = 3. Покажем, что корни найдены верно: x1 + x2 = 5; x1 • x2 = 6. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения. С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.
x2 + 13x + 40 = 0 D = 132 – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 > 0, значит, уравнение имеет два корня. Подберём такие х1 и х2, чтобы
Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x1 = –5; x2= –8.
|
|||
|