Задачи на «сложные» проценты.. Решение.

Задачи на «сложные» проценты.

1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12, 5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0, 01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит S_{2 =}S₁b – x=(Sb - x)b - x = Sb² – xb – x = Sb² – x(b + 1)

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

S₃ = S₂b – x = (Sb² – xb – x)b – x = Sb³– xb² – xb – x = Sb³- x (b² + b +1)=

Sb³ – x*( (b³ – 1)/(b – 1))

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

S₄= S₃b – x = (Sb³– xb² – xb – x)b – x= Sb⁴ – x(b³ + b² + b +1) = Sb⁴– x*((b⁴-1)/b-1))

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью S₄ = 0. , поэтому

x = (Sb⁴*(b – 1))/(b⁴ – 1)

При S = 6 902 000 и a = 12, 5, получаем: b = 1, 125 и

x = (6 902 000*1, 6018*0, 125)/0, 6018 = 2 296 350 9 (рублей)

Ответ: 2 296 350 рублей.

2. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс рублей, во второй  — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Решение.

Пусть x   — это процент, под который банк выдал кредит. Из условия следует, что на 31 декабря 2015 года у Валерия был долг 1 000(1+0, 01х) тыс. руб., а затем он выплатил 660 тыс. рублей. На оставшуюся суммы был начислен процент, и перед вторым траншем долг составлял (1 000(1+0, 01х) – 660)*(1+0, 01х) Этот долг был погашен платежом, равным 484 тыс. руб.

Составим уравнение:

(1 000(1+0, 01х) – 660)*(1+0, 01х)= 484

(340 +10х) *(1+0, 01х)= 484

340 +3, 4х +10х+0, 1х² = 484

3400 +134х +х² = 4840

х² +134х – 1440 =0

х₁+х₂ = -134 х₁=10

х₁*х₂= - 1440 х₂ = - 144- не удовл. усл.

Отсюда получаем, что банк выдал кредит под 10% годовых.

Ответ: 10%.

3. Дмитрий взял кредит в банке на сумму 810 600 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Составим уравнение. После первого платежа долг Дмитрия составляет

810 600*1, 1 – а, где а сумма первого платежа

После второго платежа

(810 600*1, 1 – а)*1, 1 – 3а

После третьего платежа Дмитрий ничего не должен банку:

(810 600*1, 1 – а)*1, 1 – 3а)*1, 1 – 9а = 0

Имеем:

810 600*1, 1³ = 9а +1, 21а + 3, 3а

13, 51а = 1 078 908, 6

а = 79 860

Ответ: 79 860 руб.