Сложное движение точки

Основные понятия и определения

Пусть твердое тело с движущейся по нему точкой М совершает движения по отношению к некоторой неподвижной системе отсчета (o’x’y’z’).

Введем дополнительную подвижную систему отсчета, жестко скрепленную с движущимся телом (oxyz).

Определение 1.

Абсолютным называется движение( траектория, скорость, ускорение) точки относительно неподвижной системы отсчета.

Абсолютное движение фиксирует наблюдатель, связанный с неподвижной системой отсчета.

V_α- абсолютная скорость,

α _α - абсолютное ускорение,

S_α- абсолютная траектория.

Определение 2.

Относительным называется движение (траектория, скорость, ускорение) точки относительно подвижной системы отсчета.

Относительное движение фиксирует наблюдатель, связанный с подвижной системой отсчета.

V_r - относительная скорость,

α _r - относительное ускорение,

S_r - относительная траектория.

«r» лат. relativus-относительный

Определение 3.

Переносным называется движение подвижной системы отсчета и всех неизменно связанных с ней точек относительно неподвижной системы отсчета.

Для восприятия понятий переносной скорости и ускорения дадим определение геометрической среды.

Неизменяемой геометрической средой называется совокупность геометрических точек неизменно связанных с подвижной системой отсчета и движущихся вместе с ней.

Переносной скоростью и переносным ускорением называется скорость и ускорение той точки геометрической среды, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

V _e-переносная скорость,

- переносное ускорение,

S _e- переносная траектория.

«e» фр. entrainair-увлекать с

Теорема сложения скоростей в сложном движении

Теорема. Абсолютная скорость в сложном движении точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство. Пусть точка М совершает сложное движение. За время точка переместится по относительной траектории в положении М₁, а по переносной – в М₂.

вектор относительного перемещения точки,

- вектор переносного перемещения точки,

-вектор абсолютного перемещения точки.

= +

Поделим на - средняя скорость.

Перейдем к пределу

= +

Теорема доказана.

Модуль. Если между и , то

;

по методу проекций где - проекции и на оси координат.

Теорема сложения ускорений при переносном поступательном движении

Теорема. При переносном поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений

Доказательство. Пусть точка М совершает сложное движение относительно неподвижной системы отсчета o’x’y’z’.

Введем подвижную систему отсчета oxyz, совершающую поступательное движение. Точка М вместе с подвижной системой отсчета также совершает поступательное движение.

Продифференцируем по t векторное равенство

где -проекции относительной скорости на оси координат,

движение.

т. к. подвижная система совершает поступательное

проекции относительного ускорения на оси координат.

Т. о. - теорема доказана.

Модуль. , где проекции векторов и на оси координат.

Задача. Кулиса ВС кривошипно-кулисного механизма приводного молота приводится в возвратно-поступательное движение кривошипом ОА длиной 1, 2 м. Кривошип имеет в данный момент угловую скорость 2 с^-1 и угловое замедление 0, 5 с^-2. Найти скорость и ускорение молота, когда кривошип ОА будет образовывать угол с вертикалью.

Дано:

Найти:

Решение

По теореме сложения скоростей

(1)

или , ( ).

Спроецируем векторное равенство (1) на ось y:

или (2) .

Спроецируем вектор равенства (2) на ось y:

Ответ: .

Теорема сложения ускорений при переносном вращательном движении (Теорема Кориолиса)

Густав Кориолис, французский ученный, 1792-1843 г. г.

Теорема. При переносном вращательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений

Доказательство. Пусть точка М совершает сложное движение относительно неподвижной системы отсчета o’x’y’z’. Введем дополнительную систему отсчета, совершающую вращательное движение. Точка М вместе с подвижной системой также совершает вращательное движение.

Продифференцируем по t векторное равенство

- по формуле Эйлера

Выполним анализ входящих в (1) величин (векторов) и их произведений.

(= О, т. к. вектора коллинеарны; в общем случае ),

В нашем случае система отсчета совершает вращательное движение.

2. .

3. .

4. .

Итак,

Обозначим (2) - кориолисово (поворотное, добавочное) ускорение.

Читать. Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки.

Таким образом, абсолютное ускорение точки выразится следующим образом:

, что и требовалось доказать.

Или в развернутом виде

Модуль | |

Направлен вектор согласно (2) перпендикулярно плоскости, содержащей вектора и , в ту сторону, откуда поворот от до на кратчайший угол виден происходящим против часовой стрелки.

или

Правило Жуковского

При сложном движении точки в одной плоскости направление вектора можно определить поворотом вектора в сторону вращения (переносного) тела на .

Модуль в этом случае

Задача. Вдоль трубки, вращающейся согласно уравнению , движется точка М по закону В момент времени определить абсолютные скорость и ускорение точки.