Действительные числа на прямой

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x> 0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины x. Правый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

2) x< 0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (– x). Левый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Возьмем произвольную точку х на координатной прямой. Возможны случаи:

1) точка x попала на положительный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x> 0, равное расстоянию от точки 0 до точки x.

2) точка x попала на отрицательный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x< 0, равное расстоянию от точки 0 до точки x, взятому со знаком минус

3) точка x попала в начало атсчета координатной прямой. Тогда ей соответствует число x=0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т. е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числа х рассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называют геометрическим изображением числа х и обозначают так же через х.