(Признак сравнения). (Предельный признак сравнения). (Признак Коши). Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают (un > un+1 )и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n ® ¥ ),то ряд сходится, причем, его сумма S > 0иS < u1.. S2m =

1 Вопрос Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Свойства общего решения. 1) Т. к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. 2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀). Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решениемдифференциального уравнения.

2 Вопрос Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т. е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду

то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной. Задачей Кошиназывается нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т. е. существует единственное решение дифференциального уравнения. Геометрический смысл теоремы Существует и при том ед функция y=фи(x), график кот проходит чз точку y0, x0 и явл решением диф ур-я Условие, что при х=х0 и функция у=у0 наз-т нач. условиями Общим решением диф ур-я 1-го порядка наз-ся функция у=фи(х, С), где С-конст, удовл. Условиям: 1)она уд-т диф-му ур-ю при любом конкр значении пост С 2)каково бы ни было нач усл, можно найти такое значение С=С0, что ф-ция у=фи(х, С0) удовл данному нач условию При реш диф ур-ий часто получ соотношение Ф (х, н, С)=0 неявно задающее ф-цию у – это общ решение, а такое соотношение – общий интегралл диф ур-я Если в общем решении у=фи(х, С), константе С придать конкр значение С=С0, то это – частное решение Если треб-ся найти частн решение диф ур-я, кот уд-т ее нач усл, то говорят что задана задача Коши Полученное решение – это решение задачи Коши

3 Вопрос А) Дифференциальное уравнение

называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде М(х)dx=N(y)dy После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Б) Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением. P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. В) Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Г) Дифференциальное уравнение вида

называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида

является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Д) Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

4 Вопрос Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением. P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

. Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹ 0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций

. При этом очевидно, что

- дифференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т. к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение

. Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение

с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Т. е. была получена вторая составляющая произведения

, которое и определяет искомую функцию.

5 Вопрос Дифференциальное уравнение вида

является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение

Т. к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т. к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что

. Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента

, т. е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux,

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

6 Вопрос Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; 2) как найти эту функцию. Если дифференциальная форма

является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Т. е.

. Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т. к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

7 Вопрос Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾:

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Решение

удовлетворяет начальным условиям

, если

Нахождение решения уравнения

, удовлетворяющего начальным условиям

, называется решением задачи Коши. Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида

в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по

, то какова бы не была точка (

) в этой области, существует единственное решение

уравнения

, определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀, удовлетворяющее начальным условиям

9 Вопрос Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных

вида:

где p₀, p₁, …, p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однороднымуравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида

Выражение

называется линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция Су₁, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.

8 Вопрос Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно. Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

и т. д. Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Если это уравнение проинтегрировать, и

- совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

10 Вопрос

Структура общего решения.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

то этот определитель называется определителем Вронского

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

, где C_i –постоянные коэффициенты.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение e^kx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решени

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

11 Вопрос

Лин неодн диф урав с пр к-ми.

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т. е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

12 Вопрос Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у₁, у₂, …, у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Такая система имеет вид:

Общим решениемсистемы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций

, …

, которые при подстановке в систему обращают ее в тождество. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

_{6 вопрос} Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда ( 1 ) к предыдущему меньше 1, то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится Если

, то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай Док-во. Отношения (u_n_{+ 1}/ u_n ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости: Для всякого e > 0 существует такое N, что при n > Nвыполняется неравенство l - e < u_n_{+ 1} / u_n < l +e, т. е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки l. Пусть l < 1, e мало и q = l +e < 1, тогда из условия u_N_{+ 1} / u_N < qследует u_N₊₁< qu_N, u_N₊₂ < q u_N₊₁< q²u_N, u_N₊₃ < q³u_N, . . . В результате получаем две числовые последовательности: u_N_,u_N₊₁, u_N₊₂, . . . и u_N, q u_N, q² u_N, q³ u_N. . . связанные неравенством u_N₊_n < u_N qⁿ. Строим из них ряды. Т. к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами

также сходится по признаку сравнения и по свойству 1⁰ сходится исходный ряд

. При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.

13 Вопрос

Метод Эйлера

Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

Если взять последовательность точек х₀, х₁, х₂, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию

При подстановке заданных начальных условий (х₀, у₀) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

Заменив на отрезке [x₀, x₁] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

Производя аналогичную операцию для отрезка [x₁, x₂], получаем:

Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

Можно записать общую формулу вычислений:

Если последовательность точек х_i выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле вместо значения

берется среднее арифметическое значений f(x₀, y₀) и f(x₁, y₁). Тогда уточненное значение:

Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x₀, y₀) средним арифметическим значений f(x₀, y₀) и , находят второе уточненное значение у₁.

Затем третье:

и т. д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М₁ ломаной Эйлера.

Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

1 вопрос Числовым рядом наз. сумма членов бесконечной числовой последовательности u₁ + u₂ + u₃ +. . . + u_n +. . . =

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т. к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру. Частичной суммой ряда S_n наз. сумма ее первых n членов. S_n =

Частичные суммы ряда образуют вспомогательную числовую последовательность S₁, S₂, S₃, . . . , S_n, . . . , где S_n = S_n_{– 1} + u_n, которая может сходится или расходится. Суммой числового ряда наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim S_n при n ® ¥ Ряд наз. сходящимся, если предел конечен и расходящимся, если бесконечен.

_{4 вопрос}

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

т. е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.

Ряд

1 + 2+ 3+... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

Отсюда

или

Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

Складывая почленно эти неравенства, получим:

или

S_n> ln(n+1)
Но

а поэтому и

т. е. ряд (2) расходится.

2 вопрос Основные свойства сходящихся рядов. 1⁰ Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда. Док-во. Имеем

Пусть

, тогда lim S_n = lim(S_k + s_{n – k}) = S_k + lim s_{n – k} при n ® ¥ Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т. е. укороченный ряд тоже сходится. 2. Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда

= с

= с S. Это свойство пределов. 3⁰ Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов)

= S₁ + S₂

_{3 вопрос}

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то u_n=0. Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1). Вычитая почленно из первогоравенства второе, получаем - = =u_n=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если u_n≠ 0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится. Пример. Ряд расходится, так как u_n=. Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

_{5 вопрос}

(Признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

(7)

(8)

причём u_n≤ v_n при любых n=1, 2, ….

Тогда: 1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через S_n и s_n соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0< u_n≤ v_n, поэтомуS_n< s_n< s при всех n=1, 2, …, то есть последовательность {S_n} ограничена, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть теперь ряд (7) расходится, то есть =∞ . Тогда из неравенства S_n< s_n следует, что и =∞ , следовательно, ряд (8) расходится. Теорема доказана.

Замечания.

1. В силу теоремы 1 признак сравнения справедлив и в случае, если u_n≤ v_n начиная с некоторого номера к, то есть при n≥ k.

2. Для использования признака сравнения нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщённые гармонические ряды где к – действительное число. Несколько позже будет доказано, что при к≤ 1 такие ряды расходятся, а при k> 1 сходятся. При к=1 получаем уже упоминавшийся расходящийся гармонический ряд.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим расходящийся ряд

Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасыванием u₁=1. Так как ln(n+1)< n+1 при любом n=1, 2, …, то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

(Предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда (7) и (8). Если существует конечный предел ≠ 0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По условию теоремы существует конечный предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n≥ N выполняется условие Последнее неравенство равносильно двойному неравенству –E< -A< E или A-E< < A+E или (9)

Неравенство (9) верно при любом E> 0. Выберем поэтому Е так, чтобы выполнялось А-Е> 0. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд по теореме 2. Но тогда по признаку сравнения, учитывая (9), сходится и ряд (7). Если ряд (7) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (9), сходится ряд и по теореме 2 сходится ряд (8). Аналогично доказывается, учитывая (9), что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Докажите эту часть самостоятельно.

Замечание. Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщённый гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд Здесь u_n=

Возьмём для сравнения ряд с общим членом v_n= то есть расходящийся гармонический ряд Применим предельный признак сравнения.

¹ 0,

следовательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

13 вопрос

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a, b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a, b].

2)Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a, b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т. е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a, b], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a, b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

7 вопрос

(Признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u₁+u₂+…+u_n… (7)

и пусть существует предел При p< 1 ряд (7) сходится, при p> 1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³ N выполняется условие || < E или

p-E< < p+E. (14)

Пусть p< 1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q< 1. Тогда из (14) получаем < q или u_n< qⁿ для всех n³ N. Рассмотрим ряды

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что u_n< qⁿ для всех n³ N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p> 1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие
p-E > 1. Тогда из (14) получаем > 1 или u_n> 1, следовательно, u_n¹ 0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

9 вопрос

Знакочередующимся наз. числовой ряд вида , u_n > 0 ( 3 )

Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают (un > un+1 )и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n ® ¥ ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0иS < u1.

Док-во. Члены частичной суммы S₂_m сгруппируем двумя способами:

S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) +. . . +(u2m-1 – u2m) ( a )

S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) -. . . – (u2m-2 – u2m-1) – u2m ( b )

При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S₂_m > 0. При способе (b) имеем разность между u₁ и суммой (m – 1) положительногослагаемого. Из этого следует, что S₂_m всегда ограничена S₂_m < u₁, а последовательность ограниченных S₂_m имеет предел, т. е. ряд сходится. От S₂_m₊₁ легко перейти к S₂_m, выделив лишний член.

10 вопрос

Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

Пусть u₁+u₂+…+u_n+…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов │ u₁│ +│ u₂│ +…+│ u_n │ +…=│ u_n │. (21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(u₁+│ u₁│ )+(u₂+│ u₂│ )+…+(u_n+│ u_n│ )+…= (u_n+│ u_n│ ). (22)

Очевидно, 0≤ u_n+│ u_n│ ≤ 2│ u_n│ при всех n=1, 2, …. Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│ u_n│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков). (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): (2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e> 0 существует число N, такое, что при n> N и любом целом p> 0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

8 вопрос (Интегральный признак Коши) Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁³ u₂≥ …≥ u_n≥ … и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1; ∞ ) функция, что f(1)=u₁, f(2)=u₂, …, f(n)= =u_n, …. Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1; n] и построим прямоугольник с основаниями [1; 2], [2; 3], …, [n-1; n] и высотами u₁, u₂, …, u_n_-1, а также с высотами u₂, u₃, …, u_n. S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁, S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n. Площадь криволинейной трапеции S= Получаем S_n-u₁< < S_n-u_n. Отсюда S_n< u₁+ (17) и S_n> u_n+ (18) Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n< u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана. Пример. Исследуем с помощью интегрального признака Коши обобщённый гармонический ряд Очевидно, f(x)=. При к≠ 1 имеем =При к=1 имеем Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при k> 1 и расходится при k≤ 1.

11 вопрос

Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х.

= u₁(x) + u₂(x) + u₃(x) +. . . = S(x) ( 4 )

При фиксированном x = a функциональный ряд становится числовым.

Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х₀.

Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e> 0 существовал такой номер N(e), что при n> N и любом целом p> 0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a, b].

12 вопрос

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема. Если для функционального ряда (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд , что для всех n и для всех вып-ся усл-е (2), то ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

Д-во: По усл-ю (2) для любого n , любого p и для каждого вы-ся нер-во: (3). Из сх-ти ряда следует что для него вып. усл-е Коши: n p < (4).

Из (3) и (4) следует, что для ряда (1) вып. Усл-е Коши на мн-ве Е, в силу этого по критерию Коши — ряд сх-ся равномерно на мн-ве Е. Абсолютная сх-ть ряда для каждого следует из правой части (3).

Следствие: Если сх-ся ряд , где =sup , , то ряд (2) сх-ся абсолютно и ранвомерно на мн-ве Е.

15 вопрос (теорема Абеля). Если степенной ряд (1. 2) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что Доказательство. Пусть числовой ряд (1. 3) сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всех n=0, 1, 2, … Рассмотрим теперь ряд (1. 4) предполагая, что Так как и при этом то члены ряда (3. 4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1. 4) сходится, а ряд (1. 2) абсолютно сходится. Предположим теперь, что ряд (1. 3) расходится, а ряд (1. 2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1. 2) следует сходимость и ряда (1. 3), что противоречит предположению. Теорема доказана. Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда. Теорема 1. 2. Для степенного ряда (1. 2) возможны только три случая: 1) ряд сходится в единственной точке x=0; 2) ряд сходится при всех значениях x; 3) существует такое R> 0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых и расходится при всех x, для которых

16 вопрос Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т. е.

, то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x₀– R, x₀ + R). Суммой ряда является функция f(x)

=f(x) ( 11 ) Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x). Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х₀ f (x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² + a₃(x – x₀)³ + … + a_n(x – x₀)ⁿ +. . . , f(x₀) = a ₀ f ‘(x) = a₁ + a₂(x – x₀) + a₃(x – x₀)² + … + n a_n(x – x₀)^n-1 +. . . , f ‘(x₀) = a₁ f ‘’(x) = a₂ + a₃(x – x₀) + a₄(x – x₀)² + … + n(n – 1) a_n(x – x₀)^n-2 +. . . , f ‘)’(x₀) = 2 a₂ f ‘’’(x) = a₃ + a₄(x – x₀) + a₅(x – x₀)² +…+ n(n–1)(n–2)a_n(x – x₀)^n-3 +. . . , f’’’(x₀) = 23 a₃ f⁽ⁿ⁾ (x) = n(n–1)(n–2). . . 2 1 a_n +. . . , f ^{( n )}(x₀) = n! a _n Отсюда находим коэффициенты a₀ = f(x₀), a_n = f ⁽ⁿ⁾(x₀) / n! ( 12 ) Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х₀ функция f(x)разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид f(x)=

( 13 ) и наз. рядом Тейлора, а при х₀= 0 наз. рядом Маклорена

14 вопрос Степенным рядомназывается ряд вида

Интервал и радиус сходимости Рассмотрим функцию

. Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде

, где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера: