Пример определения опорных реакций двухопорной балки

Пример определения опорных реакций двухопорной балки

Условие задачи

Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций.

Расчетная схема балки показана на рис. 1

рис. 1

Длина пролета балки 3м. Длина консольной части – 1, 5м.

Пример решения

Рекомендуем посмотреть наш видеоурок по расчету опорных реакций балки:

Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-z, выбрав ее начало например в т. A (рис. 2)

рис. 2

Обе опоры балки являются шарнирными, поэтому в каждой из них будет возникать только сила, обозначим их соответственно R_A и R_C

Так как все заданные нагрузки раположены исключительно в вертикальной плоскости (плоский поперечный изгиб) и не дают проекций на ось z, то опорные реакции будут тоже только вертикальными.

Вообще говоря, реакции в опорах являются такими силами, которые необходимы для удержания балки с приложенными к ней нагрузками, в статичном (неподвижном) состоянии. В данном случае эти силы не позволяют ей вращаться и перемещаться в вертикальной плоскости.

Данная балка является статически определимой, т. к. уравнений равновесиядостаточно для определения неизвестных усилий в опорах балки.

Для составления уравнений статики, опорные реакции R_A и R_Cпредварительно направляются произвольно, например, вверх (рис. 3).

рис. 3

Для определения двух неизвестных реакций потребуется два уравнения.

Запишем уравнения статики:

Балка не перемещается по вертикали, т. е. сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:

Здесь, по правилу знаков для проекций сил на ось, нагрузки направление которых совпадает с положительным направлением оси y записываются положительными и наоборот.

Тот факт, что балка не вращается, говорит о том, что сумма моментов относительно любой ее точки тоже равна нулю, т. е.:

В данном уравнении, согласно правила знаков для моментов, сосредоточенные силы, моменты и распределенные нагрузки стремящиеся повернуть балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки A записываются положительными и наоборот.
Как записывается момент распределенной нагрузки показано здесь.
Сила приложенная в точке относительно которой рассматривается сумма моментов в уравнении не участвует, так как плечо момента для нее равно нулю.

Правила знаков для сил и моментов

Здесь сумму моментов лучше записывать относительно точки расположенной на опоре (например, A), т. к. в этом случае соответствующая реакция R_A в уравнении не участвует.

Из выражения (2) определяем R_C:

и подставив его в выражение (1) находим R_A:

Направление и величина реакций, как правило, необходимы для дальнейших расчетов балки на прочность и жесткость, поэтому во избежание возможных ошибок рекомендуется выполнять проверку найденных значений.