Задания для самостоятельной работы

1. Определить, образуют ли следующие множества чисел группу по сложению и умножению.

1) все вещественные числа

2) вещественные числа, отличные от нуля

3) положительные вещественные числа

4) неотрицательные вещественные числа

5) целые положительные степени двойки (числа 2, 4, 8 и т. д. )

2. Пусть E – множество целых чисел, P – множество положительных вещественных чисел, h – операция возведения в степень (то есть h(a, b)=a^b).

1) является ли группой < E; h>?

2) является ли группой < P; h>?

3. Построить пример кольца с четырьмя элементами, которое не коммутативно.

4. 1) Рассмотрим подмножества неотрицательных целых чисел, состоящие из конечного (может быть, равного нулю) числа конечных элементов.

Какие из операций над множествами можно задать на этих подмножествах?

Какие тождества будут при этом выполняться?

2) Рассмотрим подмножества, получающиеся из множества всех отрицательных чисел при выбрасывании конечных подмножеств элементов.

Какие из операций над множествами можно задать на этих подмножествах?

Какие тождества будут выполняться?

3) Рассмотрим подмножества целых чисел, состоящие из конечного набора положительных целых чисел и всех отрицательных целых чисел, за исключением конечного подмножества.

Какие из операций над множествами можно задать на этих подмножествах?

Какие тождества будут при этом выполняться?

5. Рассмотреть следующие совокупности преобразований плоскости и выяснить, какие из них являются группами:

1) совокупность всех параллельных переносов в направлении данной прямой

2) совокупность всех поворотов плоскости

3) совокупность всех поворотов и параллельных переносов

4) совокупность всех поворотов на 180⁰

5) совокупность всех поворотов и параллельных переносов на 180⁰

6) совокупность отражений от всевозможных прямых

7) совокупность всех гомотетий

8) совокупность всех гомотетий и всех параллельных переносов.

6. 1) какие из следующих понятий евклидовой геометрии сохраняют смысл, если под равенством фигур понимать их эквивалентность относительно группы параллельных переносов:

а) четырехугольник, б) трапеция, в) параллелограмм, г) ромб, д) окружность, е) прямой угол, ж) равнобедренный треугольник, з) середина отрезка, и) медиана, к) биссектриса, л) высота, м) средняя линия треугольника, н) подобные треугольники, о) гомотетичные треугольники?

2) Какие из следующих теорем евклидовой геометрии сохраняют силу после замены слова «равны» словами «эквивалентны относительно группы параллельных переносов»:

а) теоремы о средней линии треугольника и трапеции, б) теорема о равенстве вертикальных углов, в) теоремы о равенстве внутренних накрест лежащих, внешних накрест лежащих, соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых с произвольной секущей, г) теорема о сумме углов треугольника, д) теоремы о свойствах сторон, углов и диагоналей параллелограмма?

3) Сформулировать с помощью термина «эквивалентность относительно группы параллельных переносов» определение параллелограмма, теоремы о признаках эквивалентности двух треугольников, теорему о признаке эквивалентности двух параллелограммов.

7. Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения – есть абелева полугруппа (выполняются законы коммутативности, ассоциативности).

а) Является ли алгебра Кантора группой?

Подсказка. Выяснить, всегда ли уравнения M_aÈ X=M_b, M_aÇ X=M_b имеют решения.

б) Является ли алгебра Кантора кольцом?

⇐ Предыдущая 12