Решение задач по теме «Перпендикулярность в пространстве» часть 3

Решение задач по теме «Перпендикулярность в пространстве» часть 3

1) Из точки S вне плоскости проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС

Дано: - наклонные

Доказать: О – центр окружности

Доказательство

1) , строим

2) Рассмотрим , так как - общий катет, - по условию - по катету и гипотенузе. Значит, , то есть т. О – равноудалена от вершин - центр окружности, описанной около .

2) К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найти расстояние от концов этого перпендикуляра до сторон треугольника

Дано:

, м

Окр ( м)

Найти:

Решение

1) Построим радиусы вписанной в треугольник АВС м;

, , по теореме о 3-х перпендикулярах

Рассмотрим плоские треугольники в соответствующих плоскостях (по двум катетам – катет DO –общий а остальные – радиусы вписанной окружности), откуда

: м. Ответ : 2,5 м.

Вывод :

Пусть - произвольный

1) , если

О – точка пересечения биссектрис – центр вписанной и описанной окружностей

, где - расстояние до вершины треугольника АВС

- радиус описанной окружности

2) , где - расстояние до стороны треугольника АВС - радиус вписанной окружности

1) Если расстояния от вершины до вершин равны, то , радиус описанной около треугольника АВС окружности, где

2) Если расстояние от точки до сторон равны, то радиус вписанной в треугольник АВС окружности, где

3) Расстояния от точки S до всех сторон квадрата равны а. Найти расстояние от точки S до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.

Дано : - квадрат

Найти : .

Решение

1) - искомое расстояние

2) по теореме о трех перпендикулярах , - как проекции равных наклонных. О – центр окружности вписанной в квадрат (так как радиус вписанной в квадрат окружности рамен половине стороны квадрата)

АВ найдем из , ,

Из : Ответ:

12 Следующая ⇒