Вопросы по ВиТА. лектор Королева Л.А.)

Вопросы по ВиТА

(лектор Королева Л.А.)

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности (с доказательством), дифференцируемости и интегрируемости. Правило Лейбница нахождения производной. Примеры.

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса с доказательством). Примеры.

3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Примеры.

4. Эйлеровы интегралы: гамма-функция и ее свойства (7 утверждений). Примеры.

5. Эйлеровы интегралы: бета-функция и ее свойства (8 утверждений). Два вида записи бета-функции. Вычисление интеграла .

6. Интеграл Фурье. Теоремы о представимости функции интегралом Фурье. Примеры. Преобразование Фурье (прямое, обратное).

7. Клетки, клеточные тела, множества, измеримые по Жордану. Мера Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану.

8. Разбиение, диаметр разбиения, интегральная сумма. Определение и свойства кратных интегралов: интеграл Римана, свойства интегралов). Условия интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций.

9. Двойные интегралы: сведение двойного интеграла к повторному по прямоугольнику.

10. Двойные интегралы: сведение двойного интеграла к повторному по элементарной области. Сведение тройного интеграла к повторному по элементарной области.

11. Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Формулы замены переменных при переходе к полярной, цилиндрической и сферической системам координат. Приложения кратных интегралов.

12. Элементы теории поверхностей. Площадь поверхности в случае параметрического и явного задания.

13. Криволинейные интегралы 1-го рода. Определение, свойства, теорема о вычислении с помощью определенного интеграла.

14. Криволинейные интегралы 1-го рода: формулы вычисления для случая плоской кривой (разные способы задания кривой), приложения. Примеры.

15. Криволинейные интегралы 2-го рода. Определение, свойства. Теорема о вычислении с помощью определенного интеграла и теорема о связи криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода.

16. Потенциальные векторные поля. Потенциальность поля и эквивалентные утверждения о криволинейных интегралах 2-го рода.

17. Поверхностные интегралы 1-го рода. Определение, свойства и теорема (с доказательством) о вычислении с помощью двойного интеграла. Приложения.

18. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы 2-го рода и их свойства; вычисление с помощью двойного интеграла. Физический смысл поверхностного интеграла 2 рода.

19. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского и ее следствия (с доказательством).

20. Формула Грина (с доказательством) и ее следствие (вычисление площади). Условие потенциальности плоских векторных полей.

21. Ротор. Формула Стокса (с доказательством) Условие потенциальности векторных полей в пространстве.

22. Элементы теории поля: оператор Ñ, правила действия с ним, запись известных операций над полями с помощью Ñ.

23. Повторные дифференциальные операции с полями. Оператор Лапласа. Разложение поля в сумму потенциального и соленоидального поля.

24. Интегральные операции над векторными полями. Поток поля, дивергенция, соленоидальные поля. Закон сохранения интенсивности векторной трубки.

25. Инвариантность определения дивергенции. Циркуляция. Инвариантность определения ротора.

26. Формулы Грина в пространстве (два утверждения с доказательством).

27. Криволинейная система координат. Коэффициенты Ламе. Выражение операций: градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных координатах.

28. Выражение операций: градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат.