ПОДОБИЕ ТЕЛ. ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ ПОДОБНЫХ ТЕЛ.

ПОДОБИЕ ТЕЛ. ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ ПОДОБНЫХ ТЕЛ.

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани.

Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены; сходственные рёбра пропорциональны.

Объёмы подобных тел.

Пусть Т и Т' – два простых подобных тела. Это означает, что существует преобразования подобия, при котором тело Т переходить в тело Т'. Обозначим через k коэффициент подобия.

Разобьём тело Т на треугольные пирамиды Р₁, Р₂, …, Р_n …

Преобразования подобия, которое переводит тело Т в тело Т' переводит пирамиды Р₁, Р₂, …, Р_n в пирамиды Р₁', Р₂', …, Р_n'.

Эти пирамиды составляют тело Т' и поэтому объём тела Т' равен сумме объёмов пирамид Р₁', Р₂', …, Р_n'.

Так как пирамиды Р₁'и Р₁ подобны и коэффициент подобия равен k, то и отношение их высот равно k, а отношение площадей их оснований равно k². Поэтому, отношение объёмов пирамид равно k³. Так как тело Т состоит из пирамид Р₁, а тело Т' состоит из пирамид Р₁', то отношение объёмов тел Т' и Т тоже равно k³.

Число k – коэффициент подобия – равен отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразования подобия. Поэтому, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу:

Объёмы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. (запись в тетрадь)

Квадраты объёмов подобных тел относятся, как кубы площадей соответствующих граней.

Объёмы подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как кубы их соответствующих линейных элементов (радиусов оснований, высот, образующих).

Объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.

Разбор задачи необходимо оформить согласно правилам!

Задача

Объем конуса равен 20. Через середину высоты, параллельно основанию конуса, проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

= =0,5³*20=0,125*20=2,5.

Решение задач самостоятельно:

Задача 1. Известно, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно 8 (большего к меньшему). Высота меньшего параллелепипеда равна 6 см. Чему равна высота большего параллелепипеда?

Задача 2. Эйфелева башня, высотою 300 метров, весит 8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной 1,5 м?

Задача 3. Известно, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно 8 (большего к меньшему). Высота меньшего параллелепипеда равна 6 см. Чему равна высота большего параллелепипеда?

По желанию вы можете составить кроссворд на тему «Измерения в геометрии» (на дополнительную оценку)