Практическое занятие №46. Тема: «Вычисление производных». Производная сложной функции. Примеры сложных функций. Примеры нахождения производных сложной функции

Практическое занятие №46

Тема: «Вычисление производных»

№ п/п	Формула	Пример
	с^' = 0	5^' = 0; (-12)^' = 0;
	(kx)^'= k	(6x)^' = 6; (-7x)^'=-7; ^'= ; x^' =1
	(x²) = 2x
	(x³) = 3x²
	(x ^α ) = α · x ^α-1	(x¹⁷)^' = 17x¹⁶ ; (x⁸)^' = 8x⁷ ; (x ^-5)^' = -5x ^-6
	( ) =
	=
	(sin x)^' = cos x
	(cos x)^' = -sin x
	(tg x)^' =
	(ctg x)^' =
	(ln x)^' =
	(log_a x)^' =
	(e^x)^'=e^x
	(a^x)^'=a^xlna
	Правила	Пример
	(С · u) = C · u^'	(5x²)^' = 5 · 2x = 10x; (7x³) = 7 · 3x² = 21x²; = ;
	(u ± v ) = u ± v	(5x + x² -1)’ = (5x)’ + (x²)’ – (1)’ = 5 +2x (x¹⁵ - )’ = 15x¹⁴-
	(u · v ) = u · v + v · u	(x³· )^' =(x³)^'· + ( )^'·x³=3x²· + + x³·

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция (внутри одной функции стоит вместо х другая функция), тогда производная этой сложной функции находится по правилу:

иначе говоря, производная сложной функции берется по «правилу цепочки», то есть, сначала находится производная внешней функции, аргумент при этом не изменяется, а затем находится производная от её аргумента. Если же и он является сложной функцией, то процесс снова повторяется, пока не найдется производная от последнего независимого аргумента.

Примеры сложных функций