Геометрический и механический смысл производной

Геометрический и механический смысл производной

Краткая теоретическая справка.

Прямая задается уравнением y =kx +b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент касательной равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс и значению производной в точке касания.

k= tg α=f′(x_о)

Здесь угол α – это угол между прямойy =kx +bи положительным направлением оси абсцисс. Он называетсяуглом наклона прямой.

Если угол наклона прямойy =kx +bострый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямойy =kx +bтупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то прямая перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x =c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

Уравнение касательной к графику функцииy=f(x) в точкеx_о:

y=f(x_о) +f′(x_о) (x – x_о)

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функцииy=f(x):

1. Вычислить f(x_о). 2. Вычислить производные f′(x) и f′(x_о). 3. Внести найденные числа x_о, f(x_о), f′(x_о) в уравнение касательной и решить его.

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х₀=1.

Решение. Находим производную функции

Подставляем x₀=1 в производную

12 Следующая ⇒