Ход урока.. Уравнения вида cosx=a.

Ход урока.

В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций

Определение: Уравнения вида sinx =a, cosx=a, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx =a.

Решим уравнение sinx =a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.

1) Если а> 1 и а< -1, то уравнение sinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1< а < 1, то по рисунку видно, что прямая у=а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.

Так как период синуса равен 2 , то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2 .

Решением уравнения на [- /2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [ /2; 3 /2] х= -arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

x=arcsin a+ 2 n

х= -arcsin a+2 n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1)ⁿarcsin a+ n, n Z.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а=-1, то sin x =-1, х=- /2+2 n

Если а=1, то sin x =1, x = /2+2 n

Если а=0, то sin x =0. x = n,

Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2 n

х= -arcsin a+2 n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

x= /6+ 2 n

х= 5 /6+2 n

или по общей формуле

х= ( -1)ⁿarcsin 1/2+ n,

х= ( -1)ⁿ /6+ n,

2. Уравнения вида cosx=a.

Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у= cosx и у=а.

1) Если а<-1 и а> 1, то уравнение cosx=a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1<a< 1, то уравнение cosx=a имеет бесконечное множество решений.

Найдем все решения cosx=a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2 .

На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [- ;0] будет х=-arcos a.

Таким образом решения уравнения cosx=a х=+ arcos a+2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а=-1, то cosx =-1, x =- /2+2 n

Если а=1, то cosx =1, x = 2 n,

Если а=0, то cosx =0. x = /2+ n

Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2 n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

X=+ /3+2 n, n Z.