Производные функций. Пример. Пример. Дифференцирование сложной функции. Пример

Производные функций

Сведения из теории:

Табличные значения производных элементарных функций, тригонометрических и обратных тригонометрических функций:

Правила вычисления производных:

Пример

Вычислите производную функции .

Решение:

воспользуемся формулами и правилом 1 вычисления производных:

Пример

Вычислите производную функции

Решение:

воспользуемся формулами и правилом 2 вычисления производных:

Приведем дроби к общему знаменателю:

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите производную функции:

1 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	2 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	4 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	6 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
7 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	8 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
9 вариант 3) ; 1) ; 4) . 2) ;

Контрольные вопросы:

1. Перечислите значения производных некоторых табличных функций.

2. Сформулируйте правила вычисления производных.

Дифференцирование сложной функции

Сведения из теории:

Производная сложной функции

Пусть функция , х (а;b), имеет производную в точке х₀ (а;b), а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке х₀, которая вычисляется по формуле:

Пример

Вычислите производную функции .

Решение:

представим заданную функцию как композицию квадратичной функции и степенной

;

Производные высших порядков

Вторая производная это производная от первой производной, т.е. , и т.д.

Производные высших порядков обозначаются римскими цифрами.

Пример

Найти четвертую производную .

Решение:

вычисляем последовательно производные:

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите значение «сложной» производной в указанной точке:

1 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	2 вариант 1) 2) 3) 4) 5)
3 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	4 вариант 1) 2) 3) 4) 5)
5 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	6 вариант 1) 2) 3) 4) ; 5)
7 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	8 вариант 1) 2) 3) 4) 5)

9 вариант

1) 2)

3) 4)