Тема занятия: Силы инерции при поступательном движении.

Тема занятия: Силы инерции при поступательном движении.

Принцип Даламбера.

Все методы решения задач динамики, которые мы до сих пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих законов. Однако, этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.

Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил и (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерционной системе отсчета некоторое ускорение .

Введем в рассмотрение величину

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки (иногда даламберовой силой инерции).

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим общим свойством: если в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам и прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. будет

Это выражение выражает принцип Даламбера для одной материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает . Перенося здесь член в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.

Повторяя проделанные высшее рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики.

Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что на точку механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы и , возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему; под действием этих сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями . Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, эти точки находились бы в покое или двигались без ускорений и тогда не было бы и самих сил инерции). Введение сил инерции - это лишь приём, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введём обозначения:

Величины и представляют собой главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств:

Применение уравнений (16), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, т.к. эти уравнения не содержат внутренних сил.

В проекциях на оси координат эти равенства дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражение главного вектора и главного момента сил инерций.

Пример 1.При каком минимальном значении скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R, не отрываясь от нее (рис.6.1)? Петля расположена в вертикальной плоскости.

Рис.6.1

Решение.Будем считать шарик материальной точкой в промежуточном положении на его траектории. Приложим к шарику силу тяжести mg, нормальную реакцию петли , касательную и нормальную силы инерции , .

Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил

Проектируя эту систему сил на главную нормаль Mn получим

где Ф_n = ma_n, а_n = v²/R - нормальное ускорение шарика, (v— скорость шарика).

По условию задачи при ψ= 90° нормальная реакция в верхней точке петли N= 0, то есть

Отсюда

Скорость шарика

Пример 2.Однородный стержень АВ длиной l и массой т, закрепленный шарнирно на валу OO₁ вращается вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью ω (рис.6.2). Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги BD. Найти реакции шарниров А и В.

Рис.6.2

Решение. Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к стержню силу тяжести mg, составляющие реакции и шарнира А вдоль осей координат, реакцию шарнира В (рис.6.3).

Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной силой инерции , приложенной в точке К, причем

Рис.6.3

Получена уравновешенная в любой момент времени система сил

где - нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС= СВ.

Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид

Из составленной системы уравнений с учетом значения силы последовательно находим

Пример 3.Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом OO₁ и стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом ѱ. Стержень и вал вращаются с постоянной угловой скоростью w вокруг оси Оу (рис.6.4). Определить давление диска на стержень и вал.

Рис.6.4

Решение. Воспользуемся принципом Даламбера.

Приложим к диску силу тяжести mg, реакцию вала и реакцию стержня , а также равнодействующую нормальную силу инерции всех точек диска, причем

где - нормальное ускорение центра масс диска (точки С).

Рис.6.5

Сходящаяся система сил (mg, , , ) является уравновешенной в любой момент времени.

Составим уравнения мгновенного динамического равновесия диска (указанной выше сходящихся системы сил)

Из этой системы уравнений с учетом значения силы находим:

Давление диска на стержень и вал в точках В и D равны соответствующим реакциям стержня и вала

Q_D = S_D;Р_Е = N_Е.

Домашнее задание:

1. Запишите Принцип Даламбера.

2. Запишите все рассмотренные примеры и рисунки к ним

Критерии оценки:

«5» - задание выполнено все полностью

«4» - рассмотрен принцип Даламбера и выполнено 2 примера

«3» - рассмотрен принцип Даламбера и выполнен 1 пример