Алгоритм исследования функции с помощью производной и построения ее графика

Алгоритм исследования функции с помощью производной и построения ее графика

1. Находим область определения D(f) функции y = f(x).

2. Проверяем функцию на четность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная,график функции симметричен относительно оси OY.

Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная,график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.

3. Если функция периодическая, то находим период функции.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox).

Для этого мы решаем уравнение f(x) = 0.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (Oy). Для этого ищем значение функции при x=0.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания функции)

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим критические точки функции ( и область определения производной)

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

7. Найти значения функции в точках экстремума.

8. По данным исследования построить график функции.

Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.

Решение.

1) D(f): R

2) Проверим функцию на чётность/нечётность:

, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

3) Функция непериодическая.

4) Нули функции.

С осью Оy:

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f(x) = 0:

5,6) Найдём критические точки:

Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
Экстремумы функции

точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»

. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».

7).

8) Строим график функции.