Вынужденные электрические колебания. Резонанс.

Кафедра “Физика” Лабораторная работа № 36 Изучение вынужденных электрических колебаний Аудитория Г-217

Лабораторная работа № 36

Вынужденные электрические колебания. Резонанс.

Целью работы является наблюдение, измерение и анализ электрических параметров вынужденных колебаний в электромагнитном колебательном контуре в зависимости от частоты переменного напряжения, приложенного к контуру, и его сопротивления.

Теоретическое введение

1.2.2. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс.

Свободные колебания в RLC колебательном контуре с течением времени всегда затухают вследствие потерь электрической энергии в виде электромагнитного излучения и тепла на активном сопротивлении R. Наиболее важным с практической точки зрения является случай, когда в реальный контур дополнительно включена сторонняя гармоническая ЭДС , которая компенсирует потери энергии. Колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с течением времениназываются вынужденными колебаниями.

Рассмотрим процесс возбуждения вынужденных электрических колебаний в последовательном RLC-колебательном контуре (рис. 1).

Рис. 2.3. RLC- колебательный контур

Вынужденные колебания в данной схеме можно осуществить, разорвав контур и подав на образовавшиеся контакты переменное напряжение

(1) (2.14)

где – максимальная амплитуда колебаний напряжения, – циклическая (круговая) частота переменного напряжения, подведенного к контуру.

Это напряжение нужно прибавить к ЭДС самоиндукции.Тогда закон Ома примет вид:

(2.15)

где

Произведя преобразования, получим уравнение

, (2.16)

где – частота собственных колебаний контура; – коэффициент затухания. Формула (2.16) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, которая совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. При установившихся вынужденных колебаниях, частным решением (2.16) является уравнение:

(2.17)

амплитуда и начальная фаза колебаний заряда, как показывает решение уравнения (2.16), определяются выражениями:

, (2.18)

. (2.19)

Продифференцировав выражение (2.17) по времени, найдем силу

тока

, (2.20)

здесь – максимальная амплитуда колебания силы тока. Представим (2.20) в виде:

, (2.21)

где есть сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. В соответствии с (2.19)

(2.22)

Из (2.22) следует, что ток отстает по фазе от напряжения ( > 0), когда , и опережает напряжение ( <0) при условии, что .

Максимальную амплитуду колебания силы тока можно записать

, (2.23)

где величина

(2.24)

называется полным сопротивлением электрической цепи. Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением переменного тока. Полное сопротивление состоит из активного (омического) сопротивления R, индуктивного сопротивления и емкостного сопротивления .

Выражение (2.15) можно представить в виде:

(2.25)

Таким образом, сумма напряжения на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

В соответствии с (2.21) напряжение на активном сопротивлении равно

. (2.26)

Разделив выражение (2.17) на емкость C, получим напряжение на конденсаторе

(2.27)

Здесь

(2.28)

Умножив (2.21) на индуктивность L, получим напряжение на

индуктивности:

(2.29)

где . Сопоставление (2.17), (2.26), (2.27) и (2.29) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется синфазно с током. Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой осью угол равный начальной фазе колебания. Возьмем в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов. Тогда получится диаграмма, изображенная на рисунке 2.4. Напряжение U изображается надиаграмме

вектором, равным сумме векторов , и . Из прямоугольного треугольника, образованного на диаграмме векторами U, и разностью , легко получить для тока выражение (2.23).

Для электрических колебаний, как и в случае механических, существует резонанс. Резонансом в электрической цепи называется резкое возрастание амплитуды силы тока или напряжения в колебательном контуре при условии, что частота вынуждающей силы ω стремится к резонансной частоте ω_рез.

Рис. 2.4. Векторная диаграмма



Как следует из (2.23), амплитуда тока достигает максимального значения при

                                  ,                                       (2.30)

независимо от величины R. Откуда резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура . Это формула Томсона:

                                                                               (2.31)

Резонансные кривые для силы тока при различных значениях сопротивления R изображены на рисунке 2.5. Из рисунка 2.5 видно, чем меньше активное сопротивление, тем выше максимум резонансной кривой ( ).

В случае резонанса напряжений (рис. 2.3-4) падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи, а падения напряжений на конденсаторе (U_С) и катушки индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.

Резонансная частота для напряжения на конденсаторе U_C ( и заряда q) равна

.                       (2.32)

Рис. 2.5. Резонансные кривые для силы тока

Графики зависимости напряжения от частоты для различных значений сопротивления R приведены на рисунке 2.6 (для заряда q имеют такой же вид). При резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_С_m=U_m. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

Рис. 2.6. Резонансные кривые для напряжения

В электрических контурах принято запасенную энергию считать сосредоточенной в чисто реактивных элементах индуктивности L и ёмкости C, а потери связывать с протеканием тока через сопротивление R, тогда добротность колебательного контура:

                        ,                      (2.33)

где – амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе, – амплитуда внешнего напряжения. Из (2.33) следует, что добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе превышает приложенное к контуру напряжение.В этом случае резонансные кривые для добротности будут аналогичны резонансным кривым для напряжения, а ширина резонансной кривой тем меньше, чем больше добротность контура

Ход работы:

1. Включить осциллограф и генератор в сеть. Выход генератора и выход осциллографа с помощью специальных разъемов соединить с соответствующими гнездами на специальной панели, на которой смонтирован колебательный контур и представлена принципиальная схема.

2. Установить на панели заданные преподавателем значения емкости С, индуктивности и сопротивления. При этом на экране осциллографа появится осциллограмма вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе.

3. Ручкой «Частота» на панели генератора установить определенную частоту внешнего напряжения. На экране осциллографа измерить амплитуду вынужденных колебаний на этой частоте (в условных единицах).

4. Изменить частоту генератора и снова измерить амплитуду. Процедуру повторить 15-20 раз в заданном преподавателем частотном диапазоне.

5. Изменив один из параметров контура (индуктивность, емкость или сопротивление) по указанию преподавателя, выполнить пункты 3 и 4.

6. Результаты измерений амплитуды при различных частотах и параметрах занести в табл.1.

7. По данным таблицы 1 построить на миллиметровой бумаге график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты генератора (резонансные кривые).

8. Вычислить собственную частоту колебательного контура в каждой серии измерений или .

9. По графику определить полуширину резонансной кривой. Для этого у каждой кривой вычислить значение амплитуды, соответствующей половине максимальной мощности , провести прямую параллельную оси частот. Полуширину резонансной кривой определить как отрезок этой прямой между точками пересечения с резонансной кривой (в соответствующем масштабе).

10. По графику определить частоту при которой наблюдалась максимальная амплитуда в каждой серии измерений (резонансную частоту) и сравнить ее с собственной частотой .

11. По формуле (3) определить экспериментальное значение добротности контура Q_экс и сравнить его с рассчитанным по формуле (4) теоретическим значением добротности Q_теор.

12. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 2.

                                                                                                  Таблица 1

№ п/п

С₁=

С₂=

…

n

                                                                                                  Таблица 2

Контрольные вопросы

1. Какой процесс называется колебательным.

2. Назовите типы колебаний.

3. Какие колебания называются гармоническими, по какому закону они совершаются.

4. Какими параметрами описываются колебания. Дайте определение амплитуды, частоты, периода колебаний.

5. Что представляют собой электромагнитные колебания.

6. Что называется резонансом, как он проявляется.

7. Запишите и объясните формулу Томсона.

8. Как определить собственную частоту колебательного контура.

9. Какому условию должна удовлетворять частота вынуждающей силы при резонансе.

10. Что называется добротностью контура колебательной системы. От чего она зависит.