Методические рекомендации. для проведения. практических занятий

Методические рекомендации

для проведения

практических занятий

Практические занятия № 1, 2

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

2. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

3. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

4. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

5. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность

того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

6. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Найти количество таких чисел, если цифры в числе не повторяются.

8. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Найти число возможных способов, которыми можно составить расписание экзаменов.

9. Найти число способов, которыми из 8 человек можно избрать комиссию, состоящую из 5 членов.

10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

11. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

12. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

13. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Практическая работа № 1

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

4. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету)

6. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

7. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом

8. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

9. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.

Практические занятия № 3, 4, 5, 6

1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента

4. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале ( –1, 1).

6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти функцию распределения F(х)и начертить ее график.

7. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

8. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале (0, p/3); вне этого интервала f (x) = 0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (p/6, p/4).

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

10. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана в интервале (0,1) равенством f(x) = C× arctg x; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

11. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

12. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

13. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35, 40)?

14. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F(x) = 1– е ^–0,6^x при x ³ 0; при х < 0 i(x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (2, 5).

Практическая работа № 2

1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

2. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x₁ = 4 с вероятностью ш₁ = 0,5; x₂ = 6 с вероятностью p₂ = 0,3 и х₃ свероятностью р₃. Найти x₂ и p₂, зная, что М(Х) = 8.

3. Устройство состоит из п элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения

5. Найти дисперсию дискретной случайной величины X –числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

6. Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) = (1/2)х в интервале (0; 2); вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

7. Случайная величина X в интервале (0, 5) задана плотностью распределения f (х) = (2/25)x; вне этого интервала f (x) = 0. Найти дисперсию величины X.

8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной функцией распределения

Практические занятия № 7, 8

1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Найти законы распределения составляющих X и Y

2. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, x = p/4, у = p/6, y = p/3.

3. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y).

4. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y)

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y₁ = 0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что Х = x₂ = 5

5. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y)равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0; 0), A(0; 8), В(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

6. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f (х, у) = 2cos x× cos y в квадрате 0 £ х £ p / 4 , 0 £ у £ p / 4; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

7. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f (x, y) =(1/4)sin x×sin y в квадрате 0 £ х £ p, 0 £ у £ p; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент

8. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y)распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что X и Y зависимы, но не коррелированы.

Практическая работа № 3

1. Построить линии регрессии Y на X и X на Y для двумерной случайной величины (X, Y), заданной таблицей

2. Построить линии регрессии Y на X и X на Y для двумерной случайной величины (X, Y), заданной таблицей

3. Построить линии регрессии Y на X и X на Y для двумерной случайной величины (X, Y), заданной таблицей

Практическое занятие № 9

1. Случайный процесс определяется формулой X(t) = Хе^-^t (t > 0), где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и s². Найти математическое ожидание, дасперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.

2. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

3. Построить граф состояний системы S, представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо выключена, либо выведена из строя.

4. Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) 4 вызова; б) хотя бы один; в) ни одного вызова.

Практические занятия № 10, 11

1. Глубина моря измеряется прибором, не имеющим систематической ошибки. Среднее квадратическое отклонение измерений не превышает 15 м. Сколько нужно сделать независимых измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от глубины моря a по модулю меньше, чем на 5 м?

2. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем на 0,05.

3. Независимые случайные величины X_i распределены равномерно на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения случайной величины

а также вероятность того, что 55 < Y < 70.

4. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что: а) при бросании монеты 500 раз число выпадений герба будет заключено между 200 и 300; б) при бросании 10 игральных кубиков сумма очков отклонится от математического ожидания меньше, чем на 8.

5. Дисперсия каждой из данных случайных величин не превышает 5. Найти число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математического ожидания менее чем на 0,1 превысит 0,9.

6. Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5, в девятку – 0,3, в восьмёрку – 0,1, в семёрку – 0,1. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 940 очков?

Практическая работа № 4

1. Изучается случайная величина X – число выпавших очков при бросании игрального кубика. Кубик подбросили 60 раз. Получены следующие результаты:

Составить дискретный вариационный ряд. Найти эмпирическую функцию распределения. Составить интервальный вариационный ряд. Построить полигон частот и гистограмму относительных частот. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, размах вариации, моду и медиану.

2. Имеются следующие данные о возрастном составе группы студентов вечернего отделения

3. Известны данные о количестве заявок на оказание технической помощи по дням:

Практические занятия № 12, 13

1. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот.

2. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

3. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

4. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

5. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки, предварительно вычислив плотности распределения в каждом из интервалов:

6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки, предварительно вычислив плотности частот в каждом из интервалов:

7. Известны выборочные данные

Составить дискретный вариационный ряд и построить полигон распределения частот.

8. Известны выборочные данные:

Составить интервальный вариационный ряд, состоящий из 5 интервалов и построить гистограмму относительных частот.

Практическое занятие № 14

1. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n = 20:

2. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

3. Известны результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

4. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Приведено распределение нестандартных изделий в n = 200 партиях (в первой строке указано количество x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота n_i – число партий, содержащих x_i нестандартных изделий):

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра l распределения Пуассона.

5. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала; подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами а и s. Приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n = 200 изделий (в первой строке указано отклонение х_i (мм); во второй строке приведена частота n_i – количество изделий, имеющих отклонение x_i):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и s нормального распределения.

6. Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число i появлений события в одном опыте из m = 10 испытаний, во второй строке приведена частота n_i – число опытов, в которых наблюдалось х_i появлений события A)

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.

Практическая работа № 5

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.

2. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений =30,1 и исправленное среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

3. По данным выборки объема n =16 из генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s = l нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,95.

4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала

Практические занятия № 15, 16, 17

1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице

2. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

3. Найти выборочное уравнение регрессий по данным, приведенным в корреляционной таблице. Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному отношению.

4. По выборке объема n = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент корреляции r_в = 0,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H₁: r_г ¹ 0.

5. По выборке объема n = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, Y), составлена корреляционная таблица

Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H₁: r_г ¹ 0.

Практическая работа № 6

1. По предприятиям региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска компьютерной техники (Y, млн. руб.) от объема инвестиций в производство (X, млн. руб.).

Наблюдения	X	Y

а) для характеристики зависимости Y от X построить следующие модели:

– линейную

– степенную

– показательную

– гиперболическую

б) оценить каждую модель, определив:

– индекс корреляции

– среднюю относительную ошибку

– коэффициент детерминации

– F-критерий Фишера

в) составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель.

2. По результатам выборочного исследования построена корреляционная таблица.

а) для характеристики зависимости Y от X построить следующие модели:

– линейную

– степенную

– показательную

– гиперболическую

б) оценить каждую модель, определив:

– индекс корреляции

– среднюю относительную ошибку

– коэффициент детерминации

– F-критерий Фишера

в) составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель.

Практическое занятие 18

1. На основании сделанного прогноза среднее значение изучаемой величины X должно составить a₀ = 120. Выборочная проверка 10 объектов дала среднее значение х = 135, а среднее квадратическое отклонение s = 20. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли принять данный прогноз; б) найти мощность критерия, использованного в п.а); в) определить минимальное число объектов, которое следует проверить, чтобы обеспечить мощность критерия 0,975.

2. При обследовании выработки 1000 рабочих цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим по схеме собственно-случайной выборки было отобрано 100 рабочих. Получены следующие данные

На уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о том, что средняя выработка рабочих всего цеха равна 121%.

3. Из партии, содержащей 2000 деталей, для проверки по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 200 деталей, среди которых оказалось 184 стандартных. На уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о том, что доля нестандартных деталей во всей партии равна 12%.

4. На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 м ткани в час. На уровне значимости a = 0,1 проверить гипотезу о том, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20 м/ч.

Практическая работа № 7

1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200

2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами n_i и теоретическими частотами которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:

3. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице (в первом столбце указаны интервалы времени в часах, во втором столбце – частоты (или количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала)).

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону

4. По выборке объема n = 62, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент корреляции r_в= 0,3. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H₁: r_г ¹ 0.

5. По выборке объема n = 120, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент корреляции r_в = 0,4. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H₁: r_г ¹ 0.