Лабораторная 7

Лабораторная 7

Решение дифференциального уравнения вида𝒂𝒙̈+𝒃𝒙̇+𝒄𝒙=𝟎.

*Необходимо решить уравнение х̈+16х̇+4230х=0 и построить график.

Для решения данного дифференциального уравнения будем пользоваться методом замены переменной: 𝑥=𝑥1, 𝑥̇=𝑥2. Тогда при дифференцировании этих уравнений мы получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Создадим функцию и сохраним ее:

function dxdt = odel5(t,x);

dxdt = zeros(2,1);

dxdt(1) = x(2);

dxdt(2) = -16*x(2)-4230*x(1);

end

2. Решим систему дифференциальных уравнений первого порядка с помощью функции ode45:

tspan=[0 0.5];

x0=[2 6];

[t,x] = ode45(@odel5,tspan,x0);

plot(t,x,'*');

legend('координата - x','скорость - x*');

title('Численное решение дифференциальных уравнений')

grid on

3. Выполним численное интегрирование. Для этого найдем корни q1 и q2 – характеристического уравнения 𝑞2+16𝑞+4230=0. Для этого воспользуемся командой roots.

p=[1 16 4230];

q=roots(p)

Тогда общее решение уравнения:

x(t)= C1*exp(q1*t)+C2*exp(q2*t), где q1 и q2-найденные корни

4. Сформируем матрицы А (как показано ниже) и B(матрица начальных значений x0) и найдем константы интегрирования С1 и С2 из системы 2-х линейных уравнений,удовлетворяющих начальным условиям задачи:

A=[1 1;q(1) q(2)];

B=[2;6];

C=A\B

5. Строим график координаты Х:

t=0:0.01:0.5;

g=C(1)*exp(q(1).*t)+C(2)*exp(q(2).*t);

plot(t,g)

6. Сравним значения, полученные численным и аналитическим методом, построив таблицу:

t	x	g
0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700	2.0000 1.9877 1.9970 1.9699 1.9466 1.8507 1.7123 1.5366	2.0000 1.9877 1.9970 1.9696 1.9460 1.8507 1.7123 1.5360

Заметим, что значения одинаковые(за исключением небольшой погрешности).