Пример готовой работы. Задание. Необходимый материал. Решение

Пример готовой работы

Задание

Найти производную функции

Необходимый материал

Для решения понадобятся правила дифференцирования и таблица производных.

Таблица производных элементарных функций:

Правила дифференцирования:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной

2. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных:

3. Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом:

4. Правило дифференцирования частного двух функций выглядит следующим образом:

5. Производная сложной функции :

Таблица производных сложных функций:

Решение

Функция – это частное от двух функций: и . Применяется формула 4 (производная частного):

Вычисляем . Это сложная функция, где , .

По формуле 5 правил имеем:

(по таблице сложных функций берем соответствующую формулу №9) (правило дифференцирования 1, константу -1 выносим за знак производной, производная (по таблице элементарных функций))

Далее находим . Применяем формулу производной суммы:

(постоянный множитель выносится за знак производной, применяется формула производной от элементарной функции) .

Итак, получаем:

Ответ: .

Дополнительный пример:

Вычислить производную функции

Функция содержит произведение двух сложных функций и . По формуле производной произведения получаем:

Находим . Сначала вычисляем производную от функции квадрата, затем от косинуса, затем многочлена:

(производная от квадрата, используется 7 формула в таблице производных сложных функций) (производная от косинуса – 13 формула в таблице производных сложных функций) (производная от многочлена, константа 3 выносится за знак производной, производная от х равна 1, производная от константы 2 равна 0) (здесь можно упростить по формуле двойного угла )

Находим . Вычисляем сначала производную от натурального логарифма, затем от корня, затем от многочлена.

= (производная от натурального логарифма, формула 11 в таблице производных от сложных функций) (производная от корня, можно представить корень как степень ½, формула 7 таблицы производных сложных функций) (производная многочлена, разность производных) = (перенесем знаменатель числителя в знаменатель дроби корень и перемножим)

Подставим все в формулу:

Ответ: .

Задание для самостоятельного решения

Найти производную функции:

Ответ: