ЕГЭ-2022 по математике. Профильный уровень. Вероятность и комплексные числа

ЕГЭ-2022 по математике. Профильный уровень. Вероятность и комплексные числа

ФИПИ опубликовал документ с длинным названием Перспективная модель измерительных материалов для государственной итоговой аттестации по программам среднего общего образования по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант

Matematika_ma-11-ege-pm2022-demo.pdf (userapi.com)

По знакомому оформлению и «ege-pm2022» в адресе сайта узнаётся перспективная демоверсия ЕГЭ для 2022 года. Давайте посмотрим, что ждёт выпускников в перспективе. Сегодня остановлюсь на задачах по вероятности.

Первая задача до боли знакома. не обсуждаем. Вторая задача может поставить в тупик. Здесь надо разобраться, что означает событие А — «мотор проработал более года». Это значит, что произошло одно из двух событий:

B — «мотор проработал более года, но не более двух лет» и

С — «мотор проработал более двух лет».

По условию задачи P (А) = 0,8, P (C) = 0,6.

Событие А произойдёт, если наступит или событие В, или событие С, то есть
A = B + C, P (A) = P (B + C).

А так как события В и С несовместные (не могут произойти одновременно), то
P (B + C) = P (B) + P (C). Окончательно имеем:

0,8 = P (B) + 0,6,

P (B) = 0,2.

Ответ. 0,2.

Обратим внимание на появление в варианте ещё одной задачи на вероятность, её номер 10. Вот два примера.

Разбираем решение первой задачи. После трёх бросков сумма 6 очков могла получиться лишь при таких наборах очков 1 + 1 + 4; 1 + 2 + 3; 2 + 2 + 2 (без учета порядка следования очков в сумме). За счёт перестановок слагаемых получаем:

114, 141, 411 — 3 исхода;

123, 132, 213, 231, 312, 321 — 6 исходов;

222 — 1 исход.

Всех равновозможных исходов для получения в сумме 6 оков — 10, только 6 из них благоприятствуют событию «хотя бы раз выпало 3 очка». Вероятность этого события
6 : 10 = 0,6.

Ответ. 0,6. (В таблице ответ 0,5 — опечатка).

Вторая задача, как мне показалось, к теме «вероятность» притянута за уши, так как ответ к ней получается при решении задачи на проценты. Сформулируем её, заменив «выбрали взрослого мужчину» на «выбрали мужчину», так как взрослые делятся на мужчин и женщин, невзрослых мужчин по смыслу задачи нет. Слово «взрослого» лишнее.

В городе 48 % взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин составляет 15 %. Какова доля пенсионеров среди мужчин?

Если доля пенсионеров окажется равной m/n, то вероятность случайного выбора пенсионера из мужчин составляет m/n.

Пусть в городе было x взрослых — мужчин и женщин. Тогда в нём 0,48x мужчин, 0,52x женщин, 0,126x пенсионеров,
0,15 * 0,52x = 0,078x женщин-пенсионеров и
0,126x – 0,078x = 0,048x — мужчин-пенсионеров.

Доля мужчин-пенсионеров среди мужчин составляет
0,048x : 0,48x = 0,1.

Ответ. 0,1.

Рассмотрим теперь задачу по комплексным числам, которых до сих пор никогда не было в ЕГЭ, но они всегда присутствовали в выпускном экзамене по программе углубленного изучения математики. На мой взгляд, это ошибка составителей варианта. Нельзя устраивать дискриминацию учащихся, не изучавших математику углублённо. Рассмотрим задачу.

Ученику обычного класса придётся прочитать про комплексные числа, про мнимую единицу i, квадрат которой равен –1. Про то, что комплексным числом называют выражение z, записанное в виде z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (a; b), его удобно изображать в системе координат точкой (a; b). Модулем комплексного числа называют расстояние от начала отсчёта системы координат до точки, изображающей число z. Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляют по формуле: |z| = .

Решаем задачу 11.

Пусть число z = a + bi, тогда число = z – 4 – 7i = a + bi – 4 – 7i = (a – 4) + (b – 7)i;
| | = . А число = z + 4 – i = a + bi + 4 – i = (a + 4) + (b – 1)i.
| | = r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> .

Равенство | | = | | выполняется тогда и только тогда, когда
= , т. е. когда b = a + 4.

Найдём значение a, при котором величина |z| = , т. е. достигает наименьшего значение. Это происходит при таком значении а, при котором функция f (a) = = достигает наименьшего значения. Функция f (a) — квадратичная, с положительным коэффициентом при , следовательно, достигает наименьшего значения в точке . При этом и наименьшее значение
|z| = =

Ответ. 2,4.

Решим задачу, изображая комплексное число точкой координатной плоскости. Этот способ вполне годится для решения задачи на ЕГЭ, так как там подробное решение не требуется, достаточно привести правильный ответ. Изобразим на клетчатой бумаге точками числа z = a + bi, = (a – 4) + (b – 7)i, = (a + 4) + (b – 1)i.

Знать, где находятся оси координат не нужно, главное взаимное расположение точек A (a; b), B (a – 4; b – 7) и С (a + 4; b – 1), соответствующих числам z, и . Точки B и C находим, отступая на 4 клетки влево, 7 клеток вниз и на 4 клетки вправо, 1 клетку вниз (рис. 1). Равенство | | = | | означает, что точки B и C, соответствующие числам и , одинаково удалены от начала координат O. Этого мало, чтобы определить положение точки O (это нам и не потребуется), но из равенства OB = OC следует, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Строим отрезок BC и серединный перпендикуляр MN к нему (рис. 2).

Точка O лежит на прямой MN, а нам нужно, чтобы расстояние AO было наименьшим, это возможно лишь тогда, когда является перпендикуляром к AO. Строим AO и находим его длину как высоту прямоугольного треугольника AMN с гипотенузой MN (рис 3).

Вычислив площадь треугольника AMN двумя способами, выразим длину высоты, проведённой к гипотенузе MN. Получим 2,4.

Шевкин А.В., avshevkin@mail.ru