![]()
|
|||
ВВЕДЕНИЕ. Основные определения.ВВЕДЕНИЕ
Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции, в задачах физики нередко возникает необходимость найти максимальные или минимальные значения величинособого рода, называемых функционалами. Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций. Простейший пример функционала - интеграл Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачам. Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума. или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики. К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т. д. Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи: 1. Задача о брахистохроне. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската — брахистохроне (βραχιστοζ – кратчайший, χρονοζ - время). Среди всех кривых в вертикальной плоскости Сформулируем задачу в виде уравнения. Начало системы координат где Из (1) и (2) следует и время прохождения частицы из точки Таким образом, задача свелась к нахождению функции 2. Задача о геодезических линиях. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности причем функции 1. Основные определения. Если Если функционал Множество называется окрестностью нулевого порядка, или сильной окрестностью. Множество называется окрестностью первого порядка, или слабой окрестностью. Функционал Если реализуется минимум. В этом случае Всякий сильный экстремум является в то же время и слабым экстремумом. Действительно, если кривая При постановке задач вариационного исчисления должно указываться, какого характера экстремум разыскивается и в каком классе функций. Приращениемили вариацией Функционал называетсянепрерывным в сильной (слабой) окрестноститочки (функции) при любой функции Линейным функционалом называется функционал где с — произвольная постоянная и Примером линейного функционала является Если приращение функционала можно представить в виде где Вариация функционала — это главная, линейная по отношению к Вариацию функционала можно вычислять следующим образом. Задаем вариацию где а Из (4) – (6) следует Итак, вариация функционала равна Теорема. Если функционал
Доказательство. При фиксированных Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю.
|
|||
|