ВВЕДЕНИЕ. Основные определения.

ВВЕДЕНИЕ

Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции, в задачах физики нередко возникает необходимость найти максимальные или минимальные значения величинособого рода, называемых функционалами. Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций.

Простейший пример функционала - интеграл . Каждой функции , интегрируемой по Риману на отрезке , сопоставляется число – значение интеграла.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачам. Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума. или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики.

К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т. д.

Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи:

1. Задача о брахистохроне. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската — брахистохроне (βραχιστοζ – кратчайший, χρονοζ - время). Среди всех кривых в вертикальной плоскости , соединяющих точки и , найти ту, по которой материальная частица скатится в кратчайшее время. Предполагается, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести.

Сформулируем задачу в виде уравнения. Начало системы координат поместим в точку , ось направим по горизонтали, а ось - вниз по вертикали. Пусть точка имеет координаты , а уравнение искомой прямой есть , . Частица начинает движение с нулевой скоростью из точки . В соответствии с законом сохранения энергии в точке с координатами скорость частицы равна

(1)

где - ускорение свободного падения. С другой стороны

(2)

Из (1) и (2) следует

и время прохождения частицы из точки в точку равно

(3)

Таким образом, задача свелась к нахождению функции , доставляющей минимум функционалу (3) и удовлетворяющей условиям

2. Задача о геодезических линиях. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности . Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Задача сводится к нахождению минимума функционала

причем функции , . должны быть подчинены условию . Эта задача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан лишь в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.

1. Основные определения.

Если - множество функций и каждой функции относится определенное число, то говорят, что на множестве задан функционал. Будем обозначать функционал так .

Если функционал исследуется на экстремум и производится проверка, достигается ли на кривой экстремум, то значение сопоставляется с его значениями на некотором множестве функций , называемых функциями сравнения, к которому принадлежит и .

Множество непрерывных функций сравнения таких, что при некотором значении ,

называется окрестностью нулевого порядка, или сильной окрестностью.

Множество непрерывных функций сравнения таких, что при некотором значении ,

называется окрестностью первого порядка, или слабой окрестностью.

Функционал достигает на кривой сильного (слабого) максимума, если значения функционала на любой кривой из сильной (слабой) окрестности не больше, чем , то есть .

Если , причем только при , то говорят, что на кривой достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая , на которой

реализуется минимум. В этом случае для всех кривых, близких к кривой .

Всякий сильный экстремум является в то же время и слабым экстремумом. Действительно, если кривая принадлежит слабой окрестности кривой , то она принадлежит и сильной окрестности. Однако возможно, что на кривой достигается слабый максимум (минимум) но не достигается сильного максимума (минимума).

При постановке задач вариационного исчисления должно указываться, какого характера экстремум разыскивается и в каком классе функций.

Приращениемили вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями . При этом предполагается, что изменяется произвольно в некотором классе функций.

Функционал называетсянепрерывным в сильной (слабой) окрестноститочки (функции) , если для любого положительного можно подобрать такое, что

при любой функции из сильной (слабой) окрестности.

Линейным функционалом называется функционал , удовлетворяющий следующим условиям:

где с — произвольная постоянная и

Примером линейного функционала является

Если приращение функционала

можно представить в виде

где — линейный по отношению к вариации аргумента функционал, - максимальное значение и при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т. е. , называется вариацией функционалаи обозначается .

Вариация функционала — это главная, линейная по отношению к , часть приращения функционала. При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.

Вариацию функционала можно вычислять следующим образом. Задаем вариацию аргумента . Определим семейство допустимых функций сравнения в виде , где - переменный числовой параметр. Вариация аргумента в данном семействе допустимых функций не изменяется. Если функционал имеет вариацию, то его приращение при заданном значении имеет вид

(4)

где

при (5)

а - линейный функционал по отношению к , т.е.

(6)

Из (4) – (6) следует

Итак, вариация функционала равна

Теорема. Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где — внутренняя точка области определения функционала, то при

(7)

Доказательство. При фиксированных и значение является функцией , которая при , по предположению, достигает максимума или минимума, следовательно, производная

, или

Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю.