Вторая производная и производные высших порядков.

Вторая производная и производные высших порядков.

Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.

Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.

Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v(t), то есть а(t) = v′(t). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s(t), то есть v(t) = s′(t). Тогда получается, что

То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s′′(t) в момент t₀равна ускорению тела в этот самый момент.

Рассмотрим пример. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s(t) = t². Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v(t) = s'(t) = 2t. Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.

Для этого возьмем производную от функции v(t) = 2t. Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆t, в результате получим новый аргумент (t + ∆t). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆v, соответствующее приращению ∆t

Далее находим отношение ∆v/∆t:

Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:

Итак, получили, что производная v′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с².

Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:

где F– это сила, действующая на тело;

m–масса тела;

а – ускорение.

Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде

И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.

Правило Лопиталя.

Определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные.