Прямая на плоскости

Прямая на плоскости

1. Дана прямая Выяснить какие из точек и принадлежат данной прямой.

Решение.

Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка данной прямой необходимо подставить координаты точки в уравнение прямой.

Получили верное равенство, значит, точка принадлежит прямой

Получили неверное равенство, значит, точка не принадлежит прямой

Получили верное равенство, значит, точка принадлежит прямой

2. Написать уравнение прямой , проходящей через точки и

Решение.

Для начала необходимо найти направляющий вектор . В качестве начальной точки можно выбрать любую из двух данных, например, . В качестве направляющего вектора, мы будем использовать вектор, имеющий начало в точке и конец в точке . Координаты направляющего вектора определяются следующим образом:

Мы рассмотрим разные виды уравнений, задающих прямую линию на плоскости.

1) Каноническое уравнение прямой.

Подставляя координаты данных точек, получаем каноническое уравнение прямой

2) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

Из канонического уравнения прямой имеем:

откуда, выражая , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

3) Параметрическое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

где , – координаты точки, принадлежащей прямой, – координаты направляющего вектора .

Параметрическое уравнение прямой будет иметь вид:

4) Общее уравнение прямой.

Из канонического уравнения прямой

можно получить общее уравнение прямой

где

Общее уравнение прямой будет иметь вид:

3. Вершины треугольника находятся в точках , и . Написать уравнения сторон треугольника, уравнение средней линии и уравнение высоты и уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне .

Решение.

Для того, чтобы найти стороны треугольника, используем формулу уравнения прямой, заданной двумя точками:

где – соответствующие координаты заданных точек.

Пусть – середина стороны , – середина стороны , найдем координаты точек и

Теперь найдем уравнение прямой

– высота, проведенная к стороне , значит, для того, чтобы найти уравнение , нам понадобится вектор нормали (перпендикулярный вектор) к прямой .

Пусть прямая задана общим уравнением , тогда вектор нормали прямой задается координатами

В нашем случае, вектором нормали к прямой будет вектор с координатами Так как высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую , то вектор будет направляющим для . Составим уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором:

где – координаты данной точки, – координаты направляющего вектора.

Теперь проведем прямую , параллельную стороне . В общем виде уравнение будет иметь вид: , где – любое число. При этом должно выполнятся, что точка принадлежит прямой . Подставим координаты точки в уравнение прямой :

откуда получаем зависимость . Возьмем =1, тогда , уравнение прямой имеет вид:

4. Установить, при каком значении прямые и параллельны?

Решение.

Две прямые и параллельны, если существует такое число k, при котором соответствующие коэффициенты при и пропорциональны: , а свободный коэффициент – нет: