Арккосинус и уравнение cosx=a. Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.. Уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a называются простейшими тригонометрическими уравнениями.. Уравнение cosx=a.

15.11.2021

1. Разобрать конспект.

2. Все, что выделено жирным шрифтом, переписать в тетрадь.

Арккосинус и уравнение cosx=a

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение cosx=a

Если |a|>1 , то уравнение cosx = a не имеет корней.

Например, уравнение cosx = −1,5 не имеет корней.

Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x=±arccosa+2πk,k∈Z.

Что же такое arccosa? Арккосинус в переводе с латинского означает дуга и косинус. Это обратная функция.

Если |a|≤1, то arccosa (арккосинус а) - это такое число из отрезка [0;π], косинус которого равен а.

Говоря иначе:

arccosa=x⇒cosx=a, |a|≤1,x∈[0;π]

Пример:

Найти arccos√2/2

Выражение arccos√2/2 показывает, что косинус угла x равен √2/2 (cosx=√2\2).

Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:

число, являющееся значением оси x, соответствует точке π/4 на числовой окружности.

Значит, arccos√2/2=π/4

Обрати внимание!

если cosπ/4=√2/2, то arccos√2/2=π/4

В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором – наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Теорема. Для любого a∈[−1;1] выполняется равенство arccosa+arccos(−a)=π

Частные случаи:

1.cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈Z

2.cosx=1⇒x=2πk,k∈Z

3.cosx=−1⇒x=π+2πk,k∈Z

Пример:

Решить уравнение

cosx=2/5

Используем формулу

x=±arccosa+2πk, k∈Z

и получаем ответ

x=±arccos2/5+2πk, k∈Z