Арксинус и уравнение sin x=a. Уравнение sinx=a. Если |a|>1, то уравнение sinx=a не имеет корней.. Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой. x=(−1)^karcsina+πk, k∈Z. Если |a|≤1, то arcsina (арксинус a) - это такое

16.11.2021

1. Разобрать конспект.

2. Все, что выделено жирным шрифтом, переписать в тетрадь.

Арксинус и уравнение sin x=a

Уравнение sinx=a

Если |a|>1, то уравнение sinx=a не имеет корней.

Например, уравнение sinx=2 не имеет корней.

Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой

x=(−1)^karcsina+πk, k∈Z

Что же такое arcsina? Арксинус в переводе с латинского означает дуга и синус. Это обратная функция.

Если |a|≤1, то arcsina (арксинус a) - это такое число из отрезка [−2π; 2π], синус которого равен a.

Говоря иначе:

arcsina=x ⇒ sinx=a, |a|≤1, x∈[−2π; 2π]

Рассмотрим данную теорию на примере.

Пример:

Найти arcsin1/2

Выражение arcsin1/2 показывает, что синус угла x равен 1/2, т.е. sinx=1/2.

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

Точка 1/2, находящаяся на оси y, соответствует точке π/6 на числовой окружности. Значит, arcsin1/2=π/6

Обрати внимание!

Если sinπ/6=1/2, то arcsin1/2=π/6

В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

Теорема. Для любого a∈[−1;1] справедлива формула arcsin(−a)=−arcsina

Частные случаи:

1. sin x=0 ⇒ x=πk, k∈Z

2. sin x=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z

3. sin x=−1 ⇒ x=−π/2+2πk, k∈Z

Пример:

Решить уравнение

sin x=−1/2

Используем формулу

x=(−1)^k·arcsin a+πk, k∈Z

и получаем ответ

x=(−1)^k·(−π/6)+πk, k∈Z