Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует.

Касательная к графику функции и производная с примерами решения

Вы уже знаете, какую прямую называют касательной к окружности. А что понимают, например, под касательной к синусоиде? Прямая

Пусть даны график функции и на ней точка которая не является концом графика (рис. 60). Обозначим на данном графике по разные стороны от произвольные точки Прямые — секущие. Если же точки двигаясь по графику, приближать достаточно близко к как угодно близко будут приближаться к некоторой прямой Такую прямую (если она существует) называют касательной к графику функции в точке

Если график функции такой, как показано на рисунке 61, то при неограниченном приближении точек к точке предельные положения секущих — прямые — не совпадут. Говорят, что в точке касательной к графику функции не существует.

И если — крайняя точка графика, то касательной к нему в точке не существует.

Понятие касательной к графику часто используют для исследования функций. Рассмотрим этот вопрос сначала в общем виде.

Касательная — это прямая. Её уравнение имеет вид где — угловой коэффициент — тангенс угла между лучом касательной, расположенным выше оси и положительным направлением этой оси. Обратите внимание на угловой коэффициент касательной, проведённой к графику какой-либо функции в его точке с абсциссой Если число принадлежит промежутку возрастания функции, то соответствующее значение положительное (рис. 62). Если принадлежит промежутку убывания функции, то — отрицательное (рис. 63). И наоборот: если каждому значению из некоторого промежутка соответствует положительное значение то на данная функция возрастает; если каждому значению из некоторого промежутка соответствует отрицательное значение то на функция убывает. Заслуживают внимания и те точки графика функции, в которых касательная не существует, и в которых она параллельна оси

Итак, зная угловые коэффициенты касательных к графику функции в тех или иных точках, можно сделать вывод, возрастает данная функция в этих точках, или убывает.

Поскольку для исследования функций важно уметь определять угловой коэффициент касательной к её графику, то рассмотрим подробнее связь этого коэффициента с исследуемой функцией.

Пусть даны график функции и на ней точку в которой существует касательная к графику (рис. 64). Если абсцисса точки равна то её ордината — Дадим значению аргумента приращение Тогда значению аргумента на графике функции соответствует точка с абсциссой и ординатой

Через точки проведём прямые параллельные осям абсцисс и ординат. Они пересекутся в некоторой точке Тогда — приращение аргумента, а — приращение функции на

Угловой коэффициент секущей равен тангенсу угла т. е. отношению

Если то секущая поворачиваясь вокруг точки приближается к касательной, проведённой в точке к графику данной функции. Итак, если — угловой коэффициент этой касательной и то

Так определяется угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке если касательная в ней не параллельна оси Если касательная к графику функции в некоторой точке параллельна оси то угловой коэффициент этой касательной равен нулю.

К вычислению значения выражения или приводит решение многих задач по механике, электричеству, биологии, экономике, статистике и т. д. Именно поэтому это выражение получило специальное название — производная.

Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует.

Производную функции в точке обозначают Её определение записывают также в виде равенства:

Пример:

Найдите производную функции в точке

Решение:

Дадим аргументу приращение Соответствующее приращение функции

Тогда Если

Следовательно,

Ответ.

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

До сих пор речь шла о производной функции в точке. А можно рассматривать производную функции и как функцию. Пусть, например, дана функция Найдём её производную в произвольной точке Для этого дадим значению приращение Соответствующее ему приращение функции

Поэтому Если

Имеем

Следовательно, производная функции в каждой её точке равна Пишут: или, если

Обратите внимание! Производная функции в точке — это число. Когда же говорят о производной, не указывая «в точке», подразумевают производную как функцию: производной функции есть функция производной функции есть функция и т. д.

Зная это, производную функции в точке можно вычислять проще, чем по определению производной функции в точке. Пример 2. Дана функция Найдите Решение. Производной функции является функция Поэтому

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в точке называется дифференцируемой в точке Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Докажем, например, что линейная функция дифференцируема в каждой точке Действительно, приращению её аргумента соответствует приращение функции Поэтому и если А это и значит, что в каждой точке функция имеет производную

Пишут

В частности:

Производная постоянной равна нулю.

Из курса планиметрии известно, что уравнение прямой, проходящей через заданную точку имеет вид где — угловой коэффициент прямой.

Поскольку для касательной к графику функции угловой коэффициент равен значению производной в точке касания то можем записать общий вид уравнения касательной, проведённой к графику функции в точке касания

До сих пор речь шла о касательных к криволинейным графикам. Но графиком функции может быть и прямая или часть прямой. Поэтому для обобщения договариваются касательной к прямой в любой её точке считать эту самую прямую. Касательной к отрезку или лучу в любой его внутренней точке считают прямую, которой принадлежит этот отрезок или луч.

Выше было установлено, что производная линейной функции равна коэффициенту при переменной, т.е

Полученный результат имеет очевидный геометрический смысл: касательная к прямой — графику функции — есть эта самая прямая, её угловой коэффициент равен

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите угол, который образуете положительным направлением оси касательная к графику функции в точке

Решение:

Определим сначала угловой коэффициент этой касательной по формуле — приращения функции и приращения аргумента соответственно.

Найдем приращение функции в точке

Найдём угловой коэффициент касательной:

Поскольку

Известно также, что поэтому отсюда

Пример:

Докажите, что для функции производной есть функция

Решение:

Если А это и означает, что производной функции является функция

Пример:

Напишите уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой

Решение:

Способ 1. Уравнение касательной имеет вид Угловой коэффициент равен значению производной функции в точке Значит, уравнение касательной Координаты точки касания Точка с такими координатами принадлежит касательной, поэтому отсюда Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

Способ 2. Запишем общий вид уравнения касательной:

Найдём

Подставим найденные значения в уравнение касательной: