Экзаменационные вопросы по курсу «Алгебра и геометрия» 1 семестр

Экзаменационные вопросы по курсу «Алгебра и геометрия» 1 семестр

1. Системы линейных алгебраических уравнений (определение, совместность, определенность). Равносильные системы уравнений.

2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости.

4. Понятие матрицы размера . Определители второго и третьего порядков.

5. Понятия перестановки из элементов и подстановки -ой степени. Определение инверсии.

6. Понятие определителя -го порядка. Свойства определителей.

7. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

8. Понятие минора -го порядка. Алгебраическое дополнение элемента матрицы .

9. Определитель Вандермонда.

10. Алгебраические операции над матрицами. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.

11. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

12. Декартовая система координат на плоскости и в пространстве.

13. Две основные задачи аналитической геометрии.

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

15. Определения коллинеарности, ортогональности и компланарности вектором. Понятие единичного вектора.

16. Арифметические операции над векторами и умножение вектора на число.

17. Линейная зависимость системы векторов. Примеры.

18. Теорема о линейной зависимости трех векторов (с доказательством).

19.Теорема о линейной зависимости четырех векторов в пространстве (с доказательством).

20. Скалярное произведение векторов (определение, свойства). Нахождение угла между двумя векторами. Скалярное произведение в координатной форме.

21. Критерий ортогональности двух векторов (с доказательством). Физический смысл скалярного произведения. Проекция вектора на ось.

22. Определение упорядоченной тройки векторов. Правая (левая) тройка векторов. Определение векторного произведения.

23. Свойства векторного произведения. Геометрический и физический смысл векторного произведения. Критерий коллинеарности двух векторов (с доказательством).

24. Теорема о векторном произведении в координатной форме (с доказательством).

25. Смешанное произведение вектором (определение, свойства, геометрический смысл).

26. Теорема о смешанном произведении векторов в координатной форме (с доказательством).

27. Критерий компланарности трех векторов (с доказательством). Двойное векторное произведение.

28. Вывод общего уравнения прямой на плоскости.

29. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных в общем виде. Привести примеры. Нахождение угла между двумя прямыми, заданными в общем виде.

30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами и ; угол между двумя прямыми.

31. Уравнение прямой в отрезках; каноническое уравнение прямой на плоскости (вывести).

32. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных в каноническом виде. Нахождение угла между двумя прямыми. Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.

33. Общее уравнение плоскости.

34. Исследование общего уравнения плоскости.

35. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

36. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве.

37. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

38. Вывод формулы расстояния от точки до прямой в пространстве.

39. Вывод формулы расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

40. Алгебраическая форма комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами.

41. Тригонометрическая форма комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

42. Формула Муавра. Извлечение корня -ой степени из комплексного числа.