Лекция 4 . Приведение уравнений динамики одномерных автоматических систем. к стандартному виду

Лекция 4

Приведение уравнений динамики одномерных автоматических систем

к стандартному виду

Отличительным признаком одномерных систем является существование в системе одной выходной (переменная наблюдения ) и одной входной - управляющего воздействия .

4.1 Динамика одномерной системы может быть задана следующим описанием:

. (4.1)

Система (4.1) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением - го порядка с правой частью - го порядка, где , , (при этом: ) и может быть приведена к стандартному виду:

, (4.2)

где - вектор состояния системы в – мерном фазовом пространстве; - скалярная переменная (управляющее) воздействие; - скалярная переменная (переменная наблюдения); - вещественный коэффициент; - квадратная ( ) действительная матрица состояния; - действительная матрица управления ( ); - действительная ( ) матрица наблюдения вида:

, ; (4.3)

Движения в системе (4.1) возникают как от управляющего воздействия , так и от ненулевых начальных условий (отклонений) .

Система (4.1) всегда полностью наблюдаемая, для полной управляемости должно выполняться условие

. (4.4)

В описании (4.2) составляющие вектора определяются в соответствии со следующими выражениями

а) при (представлено на рисунке 4.1):

(4.5)

б) при (представлено на рисунках 4.2 - 4.5):

(4.6)

Коэффициенты в (4.3) и в (4.2) определяются через коэффициенты согласно выражениям:

а) при

; (4.7)

б) при

. (4.8)

В структурном виде система (4.1), преобразованная к стандартному виду (4.2) - (4.3) при представлена на рисунке 4.1, при и – на рисунках 4.2 - 4.4.

Рисунок 4.1 – Структура преобразованной системы при

В структурном виде система (4.1), преобразованная к стандартному виду (4.2) - (4.3) при и – на рисунках 4.2 - 4.4.

Рисунок 4.2 – Структура преобразованной системы при

Рисунок 4.3 – Структура преобразованной системы при

Аналогично можно получать структурные схемы при , , … и т.д. вплоть до ( ) (представлено на рисунке 4.4).

Рисунок 4.4 – Структура преобразованной системы при и

В структурном виде система (4.1), преобразованная к стандартному виду (4.2) - (4.3) при и представлена на рисунке 4.5. В системе (4.1) при этом будет отсутствовать правая часть (система становится однородной). Движения в такой системе возникают только от ненулевых значений начальных условий (начальных отклонений) .

Рисунок 4.5 – Структура преобразованной системы при и

Система (4.1) всегда полностью наблюдаема по выходу (переменная ), при и (представлено на рисунке 4.4) всегда полностью управляема, при и (представлено на рисунке 4.5) понятие управляемости неприменимо.

Пример 4.1. Пусть система (4.1) при имеет следующий вид