Электромагнитные волны

§ 22 Уравнения Максвелла

Максимальное обобщение электродинамики в терминах электрического и магнитного полей было сделано Джеймсом Максвеллом (J. C. Maxwell, A treatise on electricity and magnetism, v.1,2, 1873). Уравнения Максвелла описывают свойства электрического и магнитного полей, а также взаимосвязь между ними.

С некоторыми из этих уравнений мы уже знакомы. Выпишем их еще раз. Первое уравнение Максвелла говорит нам о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды:

Второе уравнение утверждает, что магнитные заряды отсутствуют:

Третье уравнение – обобщение закона электромагнитной индукции:

Четвертое уравнение у нас пока есть в усеченной форме:

Поскольку переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, Максвелл предположил, что другим источником магнитного поля, кроме токов, должно быть переменное электрическое поле.

Пусть в четвертом уравнении Максвелла есть еще одно, не известное нам пока слагаемое: . Вычислив дивергенцию левой и правой части, слева получим ноль, поскольку дивергенция всякого ротора равна нулю. Тогда для дивергенции векторного поля получим: .

Для определения дивергенции плотности тока определим поток вектора через произвольную замкнутую поверхность . Он будет равен току через эту замкнутую поверхность, который будет определять заряд , пересекающий замкнутую поверхность за время . Если поток положителен, переменная определяет полный заряд, ограниченный замкнутой поверхностью в данный момент времени, то будет справедливо утверждение: . Используем частную производную, чтобы зафиксировать неизменность замкнутой поверхности, поток вектора через которую мы находим. Далее воспользуемся теоремой Гаусса и получим для дивергенции плотности тока следующее значение:

. (22.1)

Полученное уравнение называют уравнением непрерывности для векторного поля плотности тока. Заменим объемную плотность заряда в этом уравнении, воспользовавшись первым уравнением Максвелла :

Теперь определим недостающее слагаемое в четвертом уравнении Максвелла:

Окончательно для ротора магнитного поля получим следующее выражение:

Сам Максвелл получил этот результат, анализируя цепи переменного тока с конденсаторами. Он предложил замкнуть цепь с током и в той области между обкладками конденсатора, в которой никаких движущихся зарядов не было. Для этого он ввел ток смещения, плотность которого равна

В заключение еще раз выпишем вместе уравнения, которые описывают электрическое и магнитное поля, как постоянные, так и меняющиеся во времени. Они показывают неразрывную связь этих полей, поэтому их называют уравнениями электромагнитного поля Максвелла:

(22.2)

Уравнения Максвелла несимметричны для электрического и магнитного поля. Описание электродинамики с помощью уравнений (22.2) не единственно возможное. Однако именно это описание используется для электромагнитного поля, оторвавшегося от его источников – токов и зарядов. Этот новый объект – электромагнитные волны, к описанию которых мы и перейдем далее.

Электромагнитные волны

§ 23 Решение уравнений Максвелла в вакууме

В вакууме объемная плотность заряда и плотность тока в любой точке равны нулю. Уравнения Максвелла будут выглядеть следующим образом:

(23.1)

Получим уравнения, в которые будут входить только электрическое или только магнитное поле. Для этого вычислим ротор левой и правой части третьего уравнения Максвелла:

Ротор магнитного поля в правой части заменим в соответствии с четвертым уравнением Максвелла. Кроме этого учтем, для всякого векторного поля, в том числе для электрического поля, :

Мы учли, что дивергенция вектора равна нулю в силу первого уравнения Максвелла. Итак, для электрического поля в вакууме получили уравнение:

. (23.2)

Аналогичным образом можно получить такое же уравнение для магнитного поля.

. (23.3)

Уравнения (23.2), (23.3) совпадают с волновым уравнением, которое описывает акустическую волну в изотропной сплошной среде(Механика, 28.3):

В этом уравнении - скорость акустической волны.

Получив волновое уравнение для электромагнитного поля, Максвелл, по аналогии с акустическими волнами, предположил, что электромагнитные волны должны распространяться со скоростью света. Более того, и сам свет – это электромагнитные волны. Если световые пучки экспериментаторы в середине 19 века получать умели, то электромагнитные волны за счет колебаний токов в проводниках или колебаний напряженности электрического поля, например, в конденсаторе – нет. Открытие электромагнитных волн Максвеллом “на кончике пера” ждало экспериментального подтверждения, которое впервые было получено Г. Герцем.

Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси х. В этом случае волновой фронт перпендикулярен оси х. Электрическое и магнитное поле волны от y и z координат не зависят. Тогда для проекции получим:

Считаем всюду равной нулю, поскольку это величина постоянная, а в тех точках пространства, куда волновой фронт еще не добрался, электрическое поле отсутствует. Аналогичный результат мы получим и для проекции.

Полученный результат говорит нам о том, что электромагнитные волны – поперечные волны. И электрическое и магнитное поле бегущей волны перпендикулярны направлению ее распространения.

Остается определить и . Волновое уравнение для этих проекций разделяется и общее решение будет линейной комбинацией решений для каждой проекции. Решением уравнения для будет функция:

где - волновое число.

Определим магнитное поле в плоской волне, связанное с электрическим полем . Вычислим ротор вектора :

. (23.4)

После подстановки решения для , получим уравнение для :

решение которого будет равно:

Амплитудные значения электрического и магнитного полей равны. Сами поля взаимно перпендикулярны. Электромагнитная волна, которую мы получили, изображена на рис.23.1.

Рис.23.1

Общее решение уравнений (23.2, 23.3) для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении в выбранной системе координат, может быть представлено в экспоненциальном виде:

, (23.5)

где - волновой вектор. Он перпендикулярен фронту плоской волны и совпадает с направлением ее распространения. Для поперечной электромагнитной волны

. (23.6)

Действительно, для точки А на рисунке 23.1 циркуляция по контуру в плоскости xy будет отрицательной и определит направление магнитного поля в соответствии с уравнением (23.4). Частная производная магнитного поля по времени в этой точке будет положительной, поскольку в бегущей волне в этой точке амплитуда вектора магнитного поля растет.

Изображенная на рис.23.1 электромагнитная волна называется плоско или линейно поляризованной. Первое определение связано с тем, что и вектор и вектор в ней каждый колеблется в одной плоскости. Второе определение связано с тем, что проекции этих векторов на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, - прямые отрезки (линии). Эта волна будет также монохроматичной (одноцветной) в том смысле, что ее длина

неизменна и в оптическом диапазоне она окрашена в один цвет. Здесь - период колебаний, - частота колебаний, - циклическая частота колебаний.

§ 24 Экспериментальное обнаружение электромагнитных волн

Электромагнитные волны были обнаружены спустя пятнадцать лет после выхода из печати трактата Максвелла по электричеству и магнетизму Генрихом Герцем (H.Hertz, 1887). Это, наверное, связано с тем, что предшествующие эксперименты проводились на низких частотах, а мощность излучения, как мы убедимся чуть позже, пропорциональна четвертой степени частоты колебаний.

Если изъясняться на языке патентного законодательства, то можно сказать, что Герц предложил способ возбуждения высокочастотных колебаний и их регистрации, а также устройства для их реализации.

Высокочастотные колебания в своих первых экспериментах Герц возбуждал в - контуре с сосредоточенными параметрами (вибратор), период колебаний в котором уже в то время можно было определить по формуле Томсона . Контур представлял собой два штыря с маленькими шариками разрядного промежутка, соединенные рамкой. Для того, чтобы можно было менять резонансную частоту контура, на штырях могли перемещаться металлические сферы. В этом контуре штыри со сферами – конденсатор, а рамка – индуктивность контура. Вибратор Герца, как впрочем, и всякий реальный излучатель, имеет диаграмму направленности, в которой направление максимальной мощности излучения показано на рис.24.1.

Рис.24.1

Приемник – контур с разрядником, имел резонансную частоту, совпадающую с резонансной частотой вибратора, и, следовательно, с частотой электромагнитной волны. Регистрация волны была визуальной – по появлению разряда. Интенсивность волны была пропорциональна длине разрядного промежутка, в котором при данных условиях появлялся разряд.

Для тех геометрических параметров вибратора, который использовался в эксперименте, период резонансных колебаний равнялся приблизительно с. Сами колебания возбуждались после подачи высоковольтного импульса. Подводящие провода имели индуктивность большую индуктивности контура. Поэтому после проскакивания разряда, появлялся ток в контуре (в этот момент вся энергия, запасенная в контуре, равнялась энергии магнитного поля) и возникали высокочастотные колебания в нем. Большие индуктивности подводящих проводов имели большие эквивалентные сопротивления на частоте резонансных колебаний, так что внешняя цепь не влияла на эти колебания. Излучалась электромагнитная волна, которая регистрировалась приемником.

Мощность электромагнитного поля, которое создавало разряд в приемнике, была в эксперименте существенно выше, чем та, которая могла в нем появиться за счет обычной электромагнитной индукции. Это и явилось экспериментальным подтверждением существования электромагнитных волн.

В дальнейших экспериментах Герц, наблюдал отражение электромагнитных волн от металлических и диэлектрических поверхностей. Поместив вибратор в центр кривизны цилиндрической металлической (незамкнутой) поверхности, он получил плоскую волну. Перемещая приемник вблизи стены лаборатории, Герц обнаружил интерференцию волн. Интерферировали две волны, первая - падающая от излучателя и волна, отраженная от стены.

Дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования привели Герца к количественному описанию дипольного излучателя. Это уже резонансный излучатель с распределенными параметрами, поскольку в нем мы уже не можем выделить части, сопоставимой с конденсатором, и части, сопоставимой с индуктивностью. Этот результат является основой для расчета любых антенн приемников и передатчиков электромагнитных волн радиодиапазона, поскольку любая антенна может быть представлена в виде суммы дипольных излучателей в силу принципа суперпозиции полей.

Эксперименты А.С.Попова (1895 г.) в этой области привели к изобретению радиосвязи – передачи информации с помощью электромагнитных волн при их амплитудной модуляции. Последующие успехи в области радиосвязи связаны с изобретениями различных генераторов высокочастотных (до ~1 Ггц), сверхвысокочастотных (до ~1 Тгц) колебаний, использовании различных видов модуляции электромагнитных волн.

Наиболее впечатляющи из современных устройств для приема и передачи электромагнитных волн – параболические антенны для дальней космической связи с многометровыми зеркалами, в фокусах которых находятся излучатели; фазированные антенные решетки (ФАР) для целей радиолокации и управления объектами, которые состоят из огромного количества отдельных дипольных излучателей. В последнем случае диаграмма направленности – довольно узкий луч с плоским фронтом, который получается в результате интерференции когерентных волн отдельных излучателей. К описанию ФАР мы еще вернемся, когда будем говорить об интерференции электромагнитных волн подробнее.

В используемом каждым из вас мобильном телефоне, в качестве приемо-передающей антенны используется сложная антенна, в которой параллельно могут быть соединены две антенны (рис.24.2).

Рис.24.2

Одна из них - без диаграммы направленности (почти изотропный излучатель). Другая - все тот же дипольный излучатель Герца (полоска в нижней части фотографии). Эта полоска, правда, несколько изогнута. Подумайте, для чего это сделано.

§ 25 Энергия и импульс электромагнитной волны

На рис.23.1 изображена монохроматичная плоская линейно поляризованная волна. Если мы сделаем мгновенную “фотографию” этой волны, то в разных точках пространства вдоль оси х объемная плотность энергии магнитного и электрического полей будут меняться по гармоническому закону. Если вдоль оси х будет распространяться множество таких волн с разными частотами, фазами, амплитудами, то их суперпозиция будет представлять собой плоскую, не монохроматичную, не поляризованную волну, для которой в каждой точке пространства, где она распространяется, объемная плотность энергии будет одинаковой и равной:

поскольку для каждой волны амплитудные значения электрического и магнитного полей равны.

Плотность потока энергии – энергия, переносимая волной через единицу поверхности волнового фронта в единицу времени, будет равна:

Для линейно поляризованной волны можем определить вектор Пойнтинга (надеюсь, путаницы с обозначениями не возникнет, поскольку мы чаще всего используем вектор элементарной площадки , а вектор Пойнтинга – конечная величина):

. (25.1)

С электромагнитными волнами, по нашим современным представлениям, можно связать поток частиц – фотонов, масса которых равна нулю. Между энергией и импульсом каждого фотона есть связь (Механика 38.6 - ). Используя ее, мы можем определить плотность потока импульса электромагнитной волны:

. (25.2)

Он оказывается равен вектору Пойнтинга, деленному на скорость света.

Модуль величины стоящей слева – давление, которое электромагнитная волна будет оказывать на поглощающую поверхность при нормальном падении. Если волна будет нормально падать на идеально отражающую поверхность, то давление увеличится в два раза.