Конспект лекции. Основные методы вычисления неопределенного интеграла. Интегрирование выражений, содержащий квадратный трехчлен ax2+bx+c

Конспект лекции

Основные методы вычисления неопределенного интеграла

Интегрирование выражений, содержащий квадратный трехчлен ax2+bx+c

Рассм. некоторые виды интегралов, содержащих квадратный трехчлен в подынтегральном выражении, и способы их вычисления. Всюду далее считаем a, b, c≠0.

1) Интеграл вида

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

Сделаем замену переменной . Тогда интеграл в зависимости от знака выражения , сводится к одному из интегралов: или

Замечание: вместо замены переменной (после выделения полного квадрата) можно использовать также метод поднесения под знак дифференциала.

Пример_1. Найти неопределенный интеграл: а) ; б) .

а)

б)

2) Интеграл вида

Также вычисляется выделением полного квадрата в квадратном трехчлене. Он сводится к интегралу: если а>0 или если a<0.

Пример_2. Найти неопределенный интеграл: а) ; б) .

а)

б)

3) Интеграл вида , где M≠0.

В числителе подынтегральной функции выделяем производную 2ax+b квадратного трехчлена, записанного в знаменателе. Тогда интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралу , а второй вычисляется как интеграл вида .