Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Лекция 6. Производная функции.



Лекция 6. Производная функции.

6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

       Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

                                          у

                                                                                         f(x)

 

                                              

                              f(x0 +Dx)                                 P

                                                      Df

                                          f(x0)           M

                                              

                                          a           b      Dx    

                                            0                x0    x0 + Dx              x

 

 

       Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

       Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

       Уравнение касательной к кривой:  

 

       Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

       Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

       Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

6.2. Односторонние производные функции в точке.

 

 

       Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

 

                        

 

       Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

 

       Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

       Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

       Понятно, что это условие не является достаточным.

 

6.3. Основные правила дифференцирования.

       Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

 

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

 

       Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

 

 

6.4. Производные основных элементарных функций.

                            1)С¢ = 0;                                         9)

                            2)(xm)¢ = mxm-1;                      10)

                            3)                                      11)

                             4)                                           12)

                             5)                                    13)

                              6)                           14)

                              7)                                  15)

                              8)                      16)



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.