Раздел 3. Основы тригонометрии

Раздел 3. Основы тригонометрии

Тема 3.1. Тригонометрические функции и графики.

Занятие № 27. Тригонометрические функции и графики.

(Свойства и графики тригонометрических функций.)

План

1. Функция у=sinx, её свойства и график.

2. Функция y=cosx, её свойства и график.

3. Функции у= tgx, y=ctgx, их свойства и графики.

4. Обратные тригонометрические функции.

Определение: Числовые функции, заданные формулами у=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, называют соответственно синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Функция синус.

Функция косинус.

Функция тангенс.

Функция котангенс.

Обратные функции. 1. Дадим определение обратимой функции. Если функция у=f(х) принимает каждое своё значение только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой. Пусть у=f(х) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определенное число х из области её определения, такое, что f(х)=у. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х=g(у). В этой записи в соответствии с принятыми обозначениями поменяем местами х и у.Получим у=g(х). Функцию у=g(х) называют обратной к функцииу=f(х). 2. Сформулируйте правило нахождения обратной функции. Если у=f(х) обратима, то надо решить уравнение f(х)=у относительнох и затем поменять местами х и у. 3. Сформулируйте свойства. 1. Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. 2. Обратные функции симметричны относительно прямой у=х. Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции обратной функцией считается . Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями. К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция у = arcsinx, её свойства и график. Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

Определение. Арксинусом числа x называют такое значение угла y, для которого

. Причем

как ограничения на значения синуса, а

как выбранный диапазон углов. Основные свойства арксинуса: 1)

при

, 2)

при

. Основные свойства функции арксинус: 1) Область определения

; 2) Область значений

; 3) Функция нечетная

. Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат; 4) Функция монотонно возрастает. Построим график функции

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

Функция y = arcosx, её свойства и график. Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

Определение. Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого

. Причем

как ограничения на значения синуса, а

как выбранный диапазон углов. Основные свойства арккосинуса: 1)

при

, 2)

при

. Основные свойства функции арккосинус: 1) Область определения

; 2) Область значений

; 3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида

. Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже; 4) Функция монотонно убывает. Построим график функции

Функция y= arctgx, её свойства и график. Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

Определение. Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого

. Причем

т.к. ограничений на значения тангенса нет, а

как выбранный диапазон углов. Основные свойства арктангенса: 1)

при

, 2)

при

. Основные свойства функции арктангенс: 1) Область определения

; 2) Область значений

; 3) Функция нечетная

. Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат; 4) Функция монотонно возрастает. Построим график функции