Основное из 7 класса по алгебре (1 часть):

Основное из 7 класса по алгебре (1 часть):

Свойство степеней

1) – при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

2) – при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

3) – при возведении степеней в степень показатели перемножаются.

4) – чтобы произведение возвести в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень.

5) – чтобы дробь возвести в степень, нужно и числитель, и знаменатель возвести в эту степень.

Про свойства 4) и 5) можно проще сказать так: при делении и умножении, если показатели одинаковые, степени можно «слеплять» и «разлеплять».

6) – любое число в нулевой степени = 1.

7) – нуль в любой степени = 0.

8) – единица в любой степени =1.

9) – чтобы возвести в отрицательную степень, нужно перевернуть основание, и знак степени поменяется.

Свойство, которого нет, но 99% учеников так и норовят им воспользоваться:

10) – НЕЛЬЗЯ!!! «слеплять» и «разлеплять» степени при сложении(+) и вычитании(-). Нужно использовать формулы сокращенного умножения (ФСУ).

Одночлен – это произведение числа и одной или нескольких букв возможно в разных степенях.

Пр.: – это одночлен. 7 –коэффициент; – буквенная часть.

Приведение подобных слагаемых: одночлены с одинаковой буквенной частью можно складывать и вычитать, при этом будет меняться только коэффициент (число), буквенная часть при сложении и вычитании одночленов не изменяется. Степени у букв тоже не изменяются.

Ценное указание №4: Если у одночленов одинаковые коэффициенты и одинаковые буквенные части, но разные знаки, то эти одночлены взаимно уничтожаются, то есть их сумма равна нулю.

Пр.:

Ценное указание №5: Если у одночлена нет коэффициента, значит, коэффициент у этого одночлена равен 1.

Пр.:

Ценное указание №6 : Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно число умножить на число, а буквы на буквы.

Многочлен – это сумма одночленов с разной буквенной частью.

Привести многочлен к стандартному виду – записать в порядке убывания степеней (на 1-ом месте одночлен, у которого буквенная часть в самой большой степени, далее по убыванию).

Ценное указание №7 : Если перед скобками ничего нет, или стоит знак «+», то эти скобки можно просто убрать, знаки остаются без изменений. Если перед скобкой стоит знак « «, то при раскрытии скобок все знаки меняются на противоположные.

Пр.:1)

Ценное указание №8: Чтобы поменять знак у каждого слагаемого, нужно вынести минус перед скобкой.

Пр.:

Ценное указание №9: Если скобка в квадрате или в другой четной степени, то внутри этой скобки можно менять знак у каждого слагаемого, при этом минус перед скобкой не появится.

Пр.:

Умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен (фонтанчик):
1)Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить:
a²(3ab-b³+1) = 3a³b-a²b³+a²
2)Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить:
(5x-1)(3x+2) = 15x²-3x+10x-2 = 15x²+7x-2
Ценное указание №10:

подушка безопасности 1: Если перед дробью стоит «-», а в числителе этой дроби сумма или разность и требуется привести к общему знаменателю, то ставим этот «-», а сумма/разность должна быть взята в скобки при приведении к общему знаменателю.

Пример:
подушка безопасности 2: Если «-»стоит перед произведением скобок, то нужно переписать этот «-» открыть большую скобку, умножить «фонтанчиком» многочлен на многочлен, закрыть большую скобку. Только после этого раскрыть большую скобку, при этом меняя знаки всех слагаемых в большой скобке.
(c+2)c-(c+3)(c-3) = c²+2c-(c²-3c+3c-9) = c²+2c-c²+3c-3c+9 = 2c+9
подушка безопасности 3: Если «-» стоит перед ФСУ, то переписываем этот «-», откроем скобки, воспользуемся формулой, закроем скобки и только на следующем этапе раскроем эти скобки.
b(b+4)-(b+2)² = b²+4b-(b²+4b+4) = b²+4b-b²-4b-4 = -4

Принцип «Веника».

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отдельно каждый множитель можно приравнивать к нулю, если выполнены оба условия:

1) в левой части уравнения последнее действие - умножение
2) в правой части уравнения 0.

Пример:

Ответ:

Разложить на множители – это сделать так, чтобы последнее действие стало умножением. Методы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобки

2) ФСУ

3) Группировка

4) Разложение квадратного трехчлена по формуле

, где и – корни этого квадратного трехчлена, которые можно найти с помощью Дискриминанта ил по теореме Виета.

Вынесение общего множителя за скобки– чтобы вынести общий множитель за скобку, нужно то, что было разделить (дробной чертой) на то, что вынесли. Будем выносить в наименьшей из имеющихся степеней:
6a²b+15b²= = 3b(2a²+5b)
Способ группировки . Важно: при заключении в скобки знаки не меняем. Перед второй скобкой вначале всегда ставим +. Если будет нужно, уже потом поменяем этот знак.
ab-2b+3a-6 =
Формулы сокращенного умножения

– квадрат суммы

– квадрат разности

– разность квадратов

– сумма кубов

– разность кубов

Название формулы дается по последнему действию.

Пр.:

1-ое действие – a нужно возвести в квадрат

2-ое действие – b нужно возвести в квадрат

3-е действие - минус.

3-е и последнее действие – «минус» , следовательно, название формулы «разность». Разность чего? Разность квадратов.