Степени и корни. Операции со степенями.

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}.

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc… ) ⁿ= aⁿ · bⁿ · c ⁿ …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

( a^m ) ⁿ = a ^m* ⁿ .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р . ( 2 ·3 ·5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² ·5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Степень с отрицательным показателем.Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

Теперь формула a ^m : a ⁿ = a ^m^-ⁿможет быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a⁴: a⁷ = a ⁴^-⁷ = a ^-³ .

Если мы хотим, чтобы формула a ^m : a ⁿ = a ^m^-ⁿ была справедлива при m = n ,нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы . 2 ⁰ = 1, ( – 5 )⁰ = 1, ( – 3 / 5 ) ⁰= 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

ДОПОЛНИТЕЛЬНО. ДЛЯ ОБЩЕГО РАЗВИТИЯ. (не обязательно к изучению)

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

где a ≠ 0 , выражение не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

- любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

0 ⁰ - любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

( Почему? ).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.