Определение

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Дата:14 октября 2021г. группа: 2-СПХ-5-20

Предмет: Прикладная математика.

Преподаватель:Шкурко Лариса Александровна

Тема занятия:4-я пара: Векторы. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Тип занятия: занятие усвоения нового материала.

Форма учебного занятия:дистанционная.

Цели занятия:

· закрепить умение находить угол между векторами;

· повторить понятие скалярного произведения и закрепить умение применять его при решении задач;

· сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;

познакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;
показать применение скалярного произведения векторов в координатах при решении задач.

Использованные источники:

· Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9, 10-11 классы.

· http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedenie_-9222/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov

· https://interneturok.ru/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya

Лекционный материал

Вспомним: очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Вспомним свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

а)	У векторов АВ и АС общее начало, значит =45°.
б)	Вектор DA переместим в общую начальную точку А, получится вектор АК. Тогда °.
в)	У векторов ОА и ОВ общее начало, значит °.
г)	Вектор АО переместим в общую точку О, получится вектор ОС. Тогда °.
д)	У векторов ОА и ОС общее начало – точка О. Значит °.
е)	Переместим векторы АС и BD в общую начальную точку О. Тогда °.
ж)	Переместим вектор DB в общую точку А, получится вектор АМ. Тогда
з)	Векторы АО и ОС - сонаправленные. Значит °.

Определение

Скалярным произведением двух векторов a⃗ и b⃗ называется произведение их длин (модулей этих векторов) на косинус угла между ними: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cosα.

Свойства скалярного произведения векторов:

1. Если векторы сонаправлены, то a⃗ˆb⃗ =0°:

Так как косинус угла в 0° равен 1, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 0°=|a⃗|⋅|b⃗|⋅1=|a⃗|⋅|b⃗|.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом: a⃗⋅a⃗ =|a⃗|⋅| a⃗|⋅cos 0°=|a⃗|⋅| a⃗|⋅1=|a⃗|²= a⃗².

2. Если векторы противоположно направлены, то a⃗ˆb⃗ =180°:

Так как косинус угла в 180° равен (-1), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 180°=|a⃗|⋅|b⃗|⋅(-1) = - |a⃗|⋅|b⃗|.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a⃗ˆb⃗ =90°:

Так как косинус угла в 90° равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 90°=0.

4. Внимательно рассматриваются ситуации, когда векторы образуют тупой угол:

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема. Скалярное произведение векторов и выражается формулой

Доказательство.

1. При или теорема очевидна.

2. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть