Параллелограмм, его свойства.

Параллелограмм, его свойства.

АВ || CD;

AD || ВС.

Опр. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство 1.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать: АВ = CD; AD = ВС.

Доказательство:

I) Д.П. – диагональ BD.

II) , как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. , как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

III) Рассмотрим и .

1) BD – общая.

2) ( по доказанному во II-м).

3) ( по доказанному во II-м).

Из условий 1), 2), 3) получаем, что = по стороне и 2-м прилежащим к ней углам. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Значит, АВ = CD; AD = ВС.

Что и требовалось доказать.

Свойство 2.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать: ; .

Доказательство: I) Д.П. – диагональ BD.

III) Рассмотрим и .

1) BD – общая.

2) ( по доказанному во II-м).

3) ( по доказанному во II-м).

Из условий 1), 2), 3) получаем, что = по стороне и 2-м прилежащим к ней углам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Значит, .

IV) . Значит, .

Что и требовалось доказать.

P.S. 1) Сумма всех углов параллелограмма равна 360°. 2) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°. .

Свойство 3.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD – параллелограмм. AC и BD – диагонали.

Доказать: AO = OC, BO = OD.

Доказательство:

I) Рассмотрим и .

1) , как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

2) , как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей АС.

3) AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма.

Из условий 1), 2), 3) получаем, что = по стороне и 2-м прилежащим к ней углам. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Значит, AO = OC, BO = OD.

Что и требовалось доказать.