Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Тема занятия: Решение задач на вращательное движение твердого тела.



Тема занятия: Решение задач на вращательное движение твердого тела.

Пример 1.Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM=l=1м. (рис. 1). Определить величину полного ускорения точки

Рис.1

 

Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение

Например, при t=1 с, φ=0,5sin2=0,45 рад≅26°; ω=cos2=-0,42 c-1 (вращение по часовой стрелке); ε=-2sin2=-1,82 c-2 (угловое уско­рение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.

Скорость точки M: vM=lω=1∙0,42=0,42 м∙с-1 (определя­ется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения.

Нормальное ускорение an=lω2=1∙0,422=0,176 м∙с-2, касательное ускорение aτ=lε=1∙1,82=1,82 м∙с-2. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение).

Величина полного ускорения точки

 

Вращение тела вокруг неподвижной точки

 

Пример 2. Водило OA=a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω0, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной плоскости (рис.2).

Рис.2

 

Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке O, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость vA=aω0 (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой ско­рости (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: vB=2h∙ω. Так как h=R∙cosα и , , то и vB=2aω0.

 

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка, распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.21).

Рис.21

 

Если рас­сматривать вектор как ра­диус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела

есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его a1=εr∙sinα1=ε∙h1, где h1 – расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендику­лярно и . Но таким же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую состав­ляющую ускорения определяют как ка­сательное ускорение, предпола­гая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с векто­ром . И обо­значается этот вектор ускорения так

.

Второй вектор Модуль его a2=ωv∙cosα2, но α2=90°, т.к. векторы и перпендикулярны друг другу.

Рис.3

 

Значит a2=ωv=ωh2ω=h2ω2, где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

 

Пример 3. Продолжим исследование движения диска (пример 2). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоро­стью ω0. Поэтому угловое ускорение диска

Откладывается вектор из неподвижной точкиО. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 4).

Рис.4

 

Найдём ускорение точки В.

Ускорение . Направлен вектор перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1y.

Ускорение Вектор направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси x, y, z:

Значит

 

Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Дано: ω=20 рад/с , N=10 об.

Найти: ε-?

Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φо+ωоt+εt2/2 и ω= ωо+εt. По условию ωо=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt2/2 и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω2/4πN=3,2 рад/с.

Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с2 (рис.5). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Дано: R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с2

Найти: ω-? v -? aτ -? a -?

Рис.5

 

Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ωо+εt. По условию ωо=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с.

2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 м/с.

3) Тангенциальное ускорение aτ=𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае aτ=0,314 м/с2.

4) Нормальное ускорение an=ω2R=ε2t2R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c an=0,986м/с2.

5) Полное ускорение растет со временем по закону: При t=1 c a=1,03 м/с2.

6) Имеем , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =aτ - полное ускорение направлено по касательной. При t=∞ a = an (так как aτ=const и an пропорционально времени), т.е. при t=∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα=aτ/an=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17о46’.

 

Пример 6. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением φ=αt3. Найти полное ускорение точки как функцию времени.

Решение. Решим задачу двумя способами.

1 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу.

Выполним указанные в формулах математические действия.

2 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу.

Выполним указанные в формулах математические действия.

 

 

Домашнее задание:

1. Записать примеры 1,2,4,5 в тетрадь

2. Остальные примеры разобрать

3. Решите задачи:

Задача 1

Вал начинает вращаться с постоянным ускорением с состояния покоя. За первые 5 секунд вал делает N = 12,5 оборота. Определить угловую скорость вала в конце промежутка времени.

Ответ:

Задача 2

Колесо радиусом R = 0, 2 м начинает вращаться с состояния покоя с постоянным ускорением. Через t = 10 c от начала движения точка, лежащая на ободе колеса, имеет линейную скорость V = 10 м/с.

Определить скорость, нормальное и касательное ускорение точек обода колеса в момент времени от начала движения.

Ответ:

 

Критерии оценки:

«5» - выписаны примеры и решены 2 задачи

«4» - выписаны примеры, в задачах есть незначительные ошибки;

«3» - выписаны примеры, задачи не решены
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.