РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Решение текстовой задачи складывается из трёх основных моментов: а) удачного выбора неизвестных;

б) составления уравнений и формализации того, что требуется найти; в) решения полученной системы уравнений.

В задачах на движение в качестве неизвестных величин выбирают расстояние, скорость или время. В задачах на работу за неизвестную, как правило, надо принимать производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение.

Пример 1. От пристани одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся к пристани через 14 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от пристани.

Решение. Пусть v - скорость катера в стоячей воде, а c - скорость течения. Тогда, исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений:

ì 96

ï v + c

+ 96

v - c

= 14

í 96 + 96 - 24 = 24

îv + c v - c c

В последнем уравнении разделим знаменатель каждой дроби на c и сделаем замену

k = v . Тогда уравнение примет вид:

1 = 4 +

k + 1

k -1

. Преобразовав его, получим:

k(k - 7) = 0 . Отсюда, так как k в ноль не обращается,

k = 7 . Поэтому

v = 7c

и, подставляя

это соотношение в первое уравнение системы, находим, что

c = 2

км/ч и, соответственно,

v = 14

км/ч.

Ответ: Скорость течения – 2 км/ч; скорость катера – 14 км/ч.

Пример 2. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем другой - другую половину, то вся работа была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?

Решение. Пусть первый рабочий работает со скоростью

v1 , а второй – со скоростью

v₂ . Обозначим весь объём работы за 1. Тогда, исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений:

ì 1

ï v + v

ï + 1

= 12

= 25

ïî2v1

2v2

Из первого уравнения легко находим, что

v1 + v2

= 1 , а из второго

v1 × v2

= 1 .

Отсюда получаем, что

v1 = 20 ,

v2 = 30

или наоборот, так как не сказано какой из рабочих

работал быстрее. Следовательно, каждый в отдельности, мог выполнить эту работу за 20 и

30 дней.

Ответ: 20 дней; 30 дней.

Пример 3. Иван, Пётр и Кирилл косили траву. Пётр и Кирилл скосили бы всю траву вдвое быстрее, чем Иван. Иван и Кирилл скосили бы всю траву втрое быстрее, чем Пётр. Во сколько раз быстрее, чем Кирилл, скосили бы всю траву Иван и Пётр?

Решение. Пусть Иван, Кирилл и Пётр косят траву со скоростями

v1 , v2 , v3

соответственно. Тогда, исходя из условия, мы можем записать следующие соотношения:

ì 2 1

ïv + v v

3 1

ï = 1

ïîv1 + v2 v3

Отсюда, легко получаем, что

v = 3 v

и v = 5 v

. Поэтому, необходимый нам ответ

3 4 1

2 4 1

получаем из следующего соотношения:

Ответ: в 1,4 раза.

v1 + v2

= v1 + v3

= 7 = 1,4

раза.

Домашнее задание

1.Из города A в город B выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из города B навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между A и B . Сколько часов в пути до встречи был велосипедист?

Ответ: 4,5 часа.

2.Пассажир едет в трамвае и замечает, что параллельно трамвайной линии в противоположном направлении идёт его приятель. Через минуту человек вышел из вагона и, чтобы догнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4 раза медленнее трамвая. Через сколько минут пассажир догонит приятеля?

Ответ: 9 минут.