РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим еще примеры нахождения действительных решений систем уравнений.

ìx + y = 12,

Задача 1. Решить систему уравнений ï1 1

ïî x + y

= 3 .

Если (х; у) – решение этой системы уравнений, то х ≠ 0 и у ≠ 0. Запишем второе

уравнение системы так:

x + y = 3 .

xy 8

Подставляя значение х + у = 12 в полученное уравнение, находим 12 = 3 , откуда ху = 32.

xy 8

Решение данной системы свелось к решению системы

ìx + y = 12,

íxy = 32.

Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, получим х₁ = 4, у₁ = 8, х₂ = 8, у₂ = 4.

Ответ: (4; 8), (8; 4).

ìïx - y² = 3,

Задача 2. Решить систему уравнений íïxy2

= 28.

Выразим у² из первого уравнения системы и подставим это выражение во второе уравнение:

у² = х – 3, х(х – 3) = 28, х² – 3х – 28 = 0, откуда х₁ = 7, х₂ = –7.

Пользуясь формулой у² = х – 3, находим значение у: если х = 7, то у² = 7 – 3, у² = 4, откуда у = 2 или у = –2; если х = –4, то у² = –4 – 3 = –7 < 0, поэтому действительных корней нет.

Ответ: (7; 2), (7; –2).

Эту систему уравнений можно было решить иначе.

ìïx + (- y² )= 3,

Записав систему в виде

^íïx(- y²

)= -28,

можно было составить по теореме, обратной

теореме Виета, уравнение z² – 3z + 28 = 0; решив это уравнение, получим z₁ = x = 7, z₂ = x = – 4, откуда, естественно, получим тот же ответ.

Заметим, что замена х через у из первого уравнения и подстановка найденного выражения во второе уравнение привели бы к решению биквадратного уравнения.

ìïx³ - y³ = 7,

ìïx² - 2xy + 4 y² = 7,

Задача3. Решить систему уравнений íïx3

+ 8 y³

= 35.

Применяя формулу суммы кубов, запишем второе уравнение системы в виде

(x + 2y)(x² - 2xy + 4y² )= 35.

Используя первое уравнение системы, находим х + 2у = 5.

Выразим из этого уравнения 2у через х и подставим найденное выражение во второе уравнение системы: 2у = 5 – х, х² + (5 – х)² = 35, откуда

х³ + 125 – 75х + 15х² – х³ = 35, 15х² – 75х + 90 = 0.

х² – 5х + 6 = 0; х₁ = 3, х₂ = 2.

Теперь находим соответствующие значения у: 2у = 5 – 3, откуда у₁ = 1,

2у = 5 – 2, откуда у₂ = 3 .

Ответ: (3; 1), (2; 3/2)

ìх² + axy + y² = 25,

Задача 4*.При каких значениях а система уравнений

решение (х; у), где х = 1?

íax + y = 8

имеет

Если х = 1 входит в решение системы, то получаем следующую систему двух

ì1+ ay² + y² = 25,

уравнений относительно у и а: í

îa + y = 8.

Решая эту систему уравнений способом подстановки, получаем

а = 8 – у, 1 + (8 – у)у + у² = 25,

откуда 1 + 80 – у² + у² = 25, 8у = 24, у = 3. Поэтому а = 8 – у, т.е. а = 5.

Ответ: а = 5.

Домашнее задание

Решить систему уравнений